p p
1)
~
F（p，n

p
1）
①也即：F

(1
R2 p R2) (n
p
1)
②回归方程的拟合优度越高—回归方程的显著性检验也会越 显著
③回归方程的显著性检验越显著—回归方程的拟合优度越高
④回归方程的拟合优度检验仅是一种刻画性描述，不涉及假 设检验中：提出原假设、选择检验统计量、计算检验统 计量的值、决策等内容，而回归方程的显著性检验均涉 及这些内容。
2.可决系数（判定系数、决定系数）
（1）可决系数：回归平方和在总平方和中所占的比例 （2）用来衡量X与Y 的关系密切程度以及回归直线的代表性好坏。 （3）对于一元线性回归方程：
R2 SSR SST SSE 1 SSE
SST
SST
SST
R2

y y 2
用最小二乘法求解方程中的两个参数，得到：
ˆ1
(xi x)(yi y) (xi x)2
ˆ0 y bx
多元线性回归模型
2.多元线性回归方程：
y 0 1x1 2 x2 p xp
（1）β1、β2、…βp为偏回归系数。 （2）β1表示在其他自变量保持不变的情况下，自变
（5）利用回归方程进行预测
9.2 线 性 回 归 分 析
9.2.1线性回归模型 1.一元线性回归模型的数学模型
y 0 1x
其中：x为自变量； y为因变量； 0 为截距，即常量；
1为回归系数，表明自变量对因变量的影响程度
X的变化引起的y的线性变化部分：0 1x
其他随机因素引起的y的变化部分：
量x1变动一个单位所引起的因变量y的平均变动
9.3 线性回归方程的统计检验
9.3.1回归方程的拟合优度检验
回归直线与各观测点的接近程度称为回归方程的拟合优度， 也就是样本观测值聚集在回归线周围的紧密程度 。 1.离差平方和的分解
建立直线回归方程可知：y的观测值的总变动可由 ( y y)2
来反映，称为总变差。引起总变差的原因有两个：
（1)由于x的取值不同，使得与x有线性关系的y值不同； （2）随机因素的影响。
y
( y0 y)
y
yˆ a bx
( y0 yˆ )
( yˆ y)
x
总离差平方和可分解为
y y 2 y y 2 y y 2
（1）总平方和（SST)=剩余平方和(SSE) +回归平方和（SSR) （2）SST:反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差。 （3）SSR：由x和y的直线回归关系引起的，可以由回归直线做出 解释； （4）SSE：除了x对y的线性影响之外的随机因素所引起的Y的变动， 是回归直线所不能解释的。
2.回归分析的一般步骤
（1）确定回归方程中的解释变量（自变量）和被解释变量 （因变量）
（2）确定回归模型-选用合适的数学模型概括回归线
（3）确定回归方程-根据样本数据及确定的回归模型，在 一定的统计拟合准则下估计模型的参数，得到确定的回 归方程。
（4）对回归方程进行各种检验-基于样本得到的回归方程 是否真实地反映了总体间的统计关系？回归方程能否用 于预测？
本章内容
• 9.1 回归分析概述 • 9.2 线性回归分析 • 9.3 回归方程的统计检验 • 9.4 多元回归分析中的其他问题 • 9.5 线性回归分析的基本操作 • 9.6 线性回归分析的应用举例 • 9.7 曲线估计
9.1 回归分析概述
1.线性回归分析的内容 （1）能否找到一个线性组合来说明一组自变量和因变量的 关系 （2）如果能的话，这种关系的强度有多大，也就是利用自 变量的线性组合来预测因变量的能力有多强 （3）整体解释能力是否具有统计上的显著性意义 （4）在整体解释能力显著的情况下，哪些自变量有显著意 义
i 1
n2
①ˆ 为回归方程的标准误差，是SSE的均方根，反映了回归方程无法解释y
变动的程度。
②SPSS自动计算t值和p值，根据p值进行决策。
③一元线性回归中，回归方程显著性检验和回归系数显著性检验的作用相同， 可相互替代，且回归方程显著性检验的F统计量等于回归系数显著性检验t
统计量的平方F t 2

2）
①平均的SSA/平均的SSE，反映了回归方程所能解释的变差与 不能解释的变差的比例。
②SPSS自动计算F统计量值和p值，根据p值与显著性水平的大 小进行判断。
（3）对于多元线性回归方程，检验统计量为
F

SSR / SSE /(n
p p
1)

( yˆ y)2 / ( y yˆ)2 /(n
9.3.3回归系数的显著性检验（t检验）
（1）回归系数的显著性检验是要检验回归方程中被解释变量与每一个解释变 量之间的线性关系是否显著。
（2）对于一元线性回归方程，
检验统计量为：

t
ˆ ˆ
~ t(n 2)
n
(xi x)2
i 1
其中，ˆ S y
n
( yi yˆi )2
2
y y

1
y y

y 2
2
y
（4）对于多元线性回归方程
R2 1 SSE SST
R 2 1 SSE /(n p 1) SST /(n 1)
多元线性回归分析中，引起判定系数增加的原因有两个：
①方程中的解释变量个数增多 ②方程中引入了对被解释变量有重要影响的解释变量 ③如果某个自变量引入方程后对因变量的线性解释有重要贡献，那么必然 会使误差平方和显著减小，并使平均的误差平方和也显著减小，从而使调 整的判定系数提高 ④如果某个自变量对因变量的线性解释不明显，那么将其引入只会使SSE 减少，但不会使平均的SSE减少，因此，多元线性回归分析中，调整的判 定系数比判定系数更能准确的反映回归方程的拟合优度
9.3.2 回归方程的显著性检验（方差分析F检验）
（1）回归方程的显著性检验是要检验被解释变量与所有的解释 变量之间的线性关系是否显著。
（2） 对于一元线性回归方程，检验统计量为：
F

SSR /1 SSE /(n 2)

( yˆ y)2 /1 ( y yˆ)2 /(n 2)
~
F（1，n