2. 一个合取范式是重言式当且仅当 它的每个简单析取式都是重言式 。
1 消去→和↔，将公式中的联结词化归成 ∧，∨及┐。 2 利用德· 摩根定律将┐向内移。 3 利用分配律，结合律将公式归约为合取 范式或析取范式。

定理：任意命题公式都存在与之等值的析
取范式和合取范式。
析取范式或合取范式不是唯一的。

等价联结词
双条件↔：读作“当且仅当”； 当P和Q的真值相同时，P ↔Q的真值为T，否 则P ↔Q的真值为F。 P与Q互为充分必要条件。 例 P：今天是星期五。 Q：今天是9月1日。 P ↔ Q ：今天是9月1日当且仅当今天是星 期五。 不顾P与Q的因果关系，只要P与Q的值同真或 同假， P↔Q的值就为真，否则为假。
设P, Q为任意两个命题公式， P Q的充分 必要条件是 P Q且Q P.
不可兼析取 P Q ( P Q) 条件否定 与非 或非
c P) P Q ( P Q)
最小联结词组
设S是一个联结词集合，如果任一命题公式 都可以用仅含S中的联结词的命题公式等价 代换，则称S为最小联结词组。

条件→：当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时， P → Q的真值为F，否则P → Q的真值为T。 P → Q读作“若P则Q”或“如果P，那么Q” 称P为前件（前提），Q为后件（结论）。 P → Q表示的逻辑关系是，Q是P的必要条件， 或P是Q的充分条件。 例 P：今天是星期五。 Q：今天是9月1日。 Q→P：如果今天是9月1日那么是星期五。 注意：数理逻辑中P和Q不一定有内在联系，当 前件P为假时， P → Q为真。

析取联结词
与自然语言中的“或”意思有区别。 今天晚上我在家看电视或者去剧场看戏。
（排斥或）
他学过英语或法语。（可兼或）
他昨天做了二十或三十道习题。（原子
命题）
数理逻辑中的“或”， P ∨ Q，是可兼或。 允许P与Q同时为真。
将下列命题符号化
李萍要么聪明，要么用功。 李萍虽然聪明，但是不用功。 李萍不但聪明而且用功。 李萍不是不聪明，而是不用功。 张帆和李萍是好朋友。
置换规则：设 ( A)是含公式A的命题公式， ( B) 是用公式B置换( A)中A的所有出现后得到的命 题 公式。若A B，则( A) ( B).
例 判断下列公式的类型

定义：
当且仅当P Q是一个重言式时， 我们称“P蕴含Q”, 并记作P Q。

P→Q 不是对称的。称Q →P为其逆换式， ┐P→ ┐Q 为其反换式， ┐Q → ┐P为其逆反式。 等价式与蕴含式之间的关系

推演主析取范式的步骤
化归为析取范式 除去析取范式中所有永假的析取项。 将析取式中重复出现的合取项和相同的变元合 并。 对合取项补入没有出现的命题变元，即添加(P ∨￢P)式。然后应用分配律展开公式。
离散数学是现代数学的一个重要分支 随着计算机科学的发展逐步建立 以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目 标。 与连续性数学的区别与联系 参考文献：

教材与参考书
屈婉玲、耿素云、张立昂，离散数学及其应 用，高等教育出版社。 左孝陵、李为鑑、刘永才，离散数学，上海 科学技术文献出版社。 耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（第五 版），清华大学出版社。 屈婉玲、耿素云、张立昂，离散数学学习指 导与习题解析，高等教育出版社。
P Q ( P Q) (Q P) P Q P Q
P Q (P Q) P Q (P Q)
任意命题公式都可以由 仅包含{,}或{， }的 命题公式代换。
简单析取式：仅由有限个命题变元或其否定 构成的析取式，称为简单析取式。
简单合取式：仅由有限个命题变元或其否定 构成的合取式，称为简单合取式。

命题演算的合式公式（wff），规定为 （1）单个命题变元本身是一个合式公式。 （2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。 （3）如果A和B是合式公式，那么 (A∧B),(A∨B),(A→B)和(A↔B)都是合式公式。 （4）当且仅当能够有限次地应用(1),(2),(3)所 得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串 是合式公式。

数理逻辑（命题逻辑与谓词逻辑） 集合论（函数与关系） 图论 组合数学 代数结构 格和布尔代数

用数学方法（符号体系）来研究推理的规律 1847年， 《逻辑的数学分析》； 在自动控制、程序设计、人工智能、计算机科 学等领域有广泛应用 两个最基本内容——命题逻辑和谓词逻辑
第二章 命题逻辑等值验算
等价公式
设A, B是两个命题公式，若 A B为重言式， 则称A与B是等值的，记作 A B。有时也称 A与B等价。
若A B，则它们在所有赋值下 的真值都相同。
注意：A B与A B的区别
判断等价式的方法——真值表法、等价代换法
命题定律
1、双重否定律 A A 2、幂等律 A A A A A A

第一章 命题逻辑基本概念
命题：能表达判断，具有确定真值的陈述句。 （1）6是质数。 （2）如果6是偶数，那么3是奇数。 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题

注意: •任何命题的真值都是唯一的。
•感叹句、祈使句、疑问句都不是命题。
析取联结词
析取∨：两命题P和Q的合取是一个复合命题 ，记作P ∨ Q。读作“或 ”。 真值：当且仅当P，Q同时为假时， P ∨ Q为 假，否则为真。 是二元运算符。 析取式P ∨ Q表示的是一种相容性或。即允 许P与Q同时为真。 例 P：今天是星期五。 Q：今天是9月1日。 P ∨ Q ：今天是9月1日或者是星期五。
13、等价等值式 A B （A B） （B A） 14、假言易位 A B B A 15、等价否定等值式 A B A B 16、归谬论 （A B） （A B） A

命题定律： 其中的A、B、C为任意命题或命题公式； 用真值表验证。

命题公式的分类

给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派， 其对应的真值永为T，则称该命题公式为重言 式或永真公式。 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派， 其对应的真值永为F，则称该命题公式为矛盾 式或永假公式。 给定一命题公式，若至少存在一组指派，使得 其对应的真值为T，则称该命题公式为可满足 式。 重言式一定是可满足式，但反之不真。

命题公式与翻译
命题公式没有真假值，不是命题。 不是由命题变元、联结词、括号组成的字符串 都能成为命题公式。 自然语言中的联结词要根据具体含义翻译。 符号化表示不是唯一的。 列出真值表来进一步分析检验。

符号化复合命题的步骤
1. 分析出各简单命题，将其符号化。 2. 使用合适的联结词，把简单命题逐个联结 起来。必要时可使用括号。括号一定要成对出 现。
(3)~(7)都不是命题
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命题的类型
原子命题（简单命题）：不能分解为更简单的陈述句 复合命题：由联结词，标点符号和原子命题复合构成
命题的表示——命题标识符 用英文字母A, B, …或p, q, r …表示简单命题 用数字表示表示命题，如[12] 例如 p：2是素数。 [1]: 雪是黑色的。 命题的真值：用“1”或“T”表示真，用“0” 或“F”表示假
3、交换律 A B B A A B B A 4、结合律 ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) 5、分配律 A （B C） （A B） ( A C) A （B C ） （A B） ( A C) 6、德摩根律 （A B） A B （A B） A B

命题常量与命题变元
命题常量：表示确定命题的命题标识符 命题变元：表示任意命题的位置标志 命题变元不是命题 因为命题变元可以表示任意命题，所以不能 确定真值。 当命题变元P用一个特定命题取代时，P才能确 定真值。这时也称对命题变元P进行指派。

在数理逻辑中，复合命题是由原子命题 与逻辑联结词组合而成的。 例如： 3不是偶数。 如果今天天气好，我就去散步。 2是素数和偶数。 林芳学过英语或日语。
性质 1.一个简单析取式是重言式当且仅当 它同时含一个命题变元及其否定。
2. 一个简单合取式是矛盾式当且仅当 它同时含一个命题变元及其否定。
析取范式：仅由有限个简单合取式构成的 析取式，称为析取范式。
合取范式：仅由有限个简单析取式构成的 合取式，称为合取范式。
性质 1.一个析取范式是矛盾式当且仅当 它的每个简单合取式都是矛盾式。
主析取范式
设有n个命题变元，若在简单合取式中每个命 题变元与其否定有且仅有一个出现一次，则这 样的简单合取式称为极小项。 一般地，n个命题变元可产生2n个极小项。 思考：若要使极小项的赋值为真，应对各命题 变元怎样指派？

主析取范式
如果公式A的析取范式中的简单合取式全是极 小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 任何命题公式都有唯一的主析取范式。 主析取范式可以判断两命题公式是否等价。 求主析取范式的方法：真值表法，等价公式法 真值表法：在真值表中，一个公式的真值为T 的指派所对应的的极小项的析取，即为此公式 的主析取范式。
命题定律
7、吸收律 A （A B） A A （A B） A 8、零律 A T T A F F 9、同一律 A F A A T A
10、排中律 A A T 11 、矛盾律 A A F 12、蕴含等值式 A B A B

运算优先级： ┐；∧，∨；→， ↔；
有括号先算括号， 相同联结词按从左到右顺序计算