利用图形的旋转变换解题举例这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。

初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。

我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进行改变,从而达到优化图形结构,进一步整合图形〔题设〕信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利求解。

例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为 ,求阴影部分的面积。

解:连AC、BD如右图,则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③,将图中①绕AB中点顺时针方向旋转到图中④,则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等,所以图中阴影部分的面积=S⊿DCB = S 正方形ABCD= 。

这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置,从而顺利地完成了计算。

例2、如图⑵所示,在⊿ABC中,AB=AC,∠BAC= ,D是BC上任一点,试说明。

证法一(非旋转法):过A点作AE⊥BC于E,如图⑶,则容易证明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以 , ,所以 = + = ,而在直角三角形ADE中,存在 ,所以 ,这是传统的证明方法。

本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条件不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了.证法二(旋转法): 将△ADC绕A点顺时针方向旋转到△AEB,如图⑷, 连DE, 易知△ADE、△DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在Rt△EBD中有 , 在Rt△AED中有 ,所以。

例3、如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小解: 如图(6),将⊿BPC绕B点逆时针旋转到△BEA, 连EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2,在Rt⊿BEP中, ,且∠EPB= ,在⊿AEP中,又,所以△APE是直角三角形,即∠APE= ,∠APB=∠APE+∠EPB= + = ,即∠APB为。

传统几何中,有许多旋转的例子,尤其是正方形和等腰三角形中。

如图(7),正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各有一点P、Q,如果△APQ的周长为2,求∠PCQ的度数。

将△CDQ绕C点逆时针旋转90°像图(8)那样,立刻可得QA+AB+BE=2,由△APQ周长为2得 PQ=PE,进一步可得△CPQ≌△CPE,∠PCQ=∠PCE,又∠QCE=90°,所以∠PCQ=45°。

又如图(9),△ABC中,AB=AC,P为三角形内一点,且∠APB>∠APC,求证:PC>PB。

将△APB绕A点逆时针旋转成右图那样,不难得到条件∠APB>∠APC变成了∠PQC>∠QPC,从而PC>CQ,由旋转关系,PC>PB。

最能体现旋转法的莫过于下面这个问题了:如图(10),四边形ABCD 中,AB=AD,∠A=∠C=90°,其面积为16,求A到BC的距离。

通过旋转变换,将图(10)变成图(11),答案可以脱口而出:距离为4!类似的例子可以举出许多,这里不再赘述。

综上可见,正确利用图形的旋转变换可大大提高解题效率,不过在使用这一方法解题时还需注意图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,故这种方法一般常用于等腰三角形,正方形图形中。

提高课堂教学能力的一点认识随着数学教材的不断改革,我这几年分别教过了人教版,华师大版及苏科版的教材。

我所教的学生的学习基础及学习态度相对比较这几年也一届比一届差。

这些变化让我对数学教学感受颇多。

刚工作时,我印象最深的是我讲了10几分钟,课就讲完了。

师徒结对后,我才逐步走出了这种状况。

但我仍然碰到一些问题,比如,我在某些考试时,看到试卷题目几乎都是自己讲过的。

极少题目也只是有些变化,常常心中窃喜,以为学生考下来肯定理想,但试卷改出后,往往不尽如人意,出乎我的意料。

经过几年的磨练,我觉得自己各方面都有了提高,也一直在寻求更利于促进学生学习的教学方法,努力提高课堂教学的效率。

以下是我对提高课堂教学的一点肤浅认识。

一.创设民主、和谐的课堂气氛。

心理学与教育学的研究表明,情感在教学中不仅有动力作用,而且能消除疲劳,激发创造力。

像我们学校的学生本身学习基础较差,他们不愿动脑筋做数学题。

曾有老师观察过他们每天做作业的顺序,先写语文,然后是英语,最后如果还有时间就做数学。

这种情况与教师的严厉程度有关,但很大程度上反映出学生对数学学习有畏难情绪,怕动脑筋。

长此以往,若文科作业量大就会影响他们的数学学习。

这就要师生之间有良好的关系,让他们愿意做你的作业。

古人说,"亲其师,信其道"。

尊重学生,信任学生,对每一个学生都倾注感情。

这种深厚的师生感情会使学生在课堂上更愿意听你传授知识,跟着你的思维积极动脑。

在课堂教学中,应关注每一个学生。

比如我在提问一些简单问题时,往往会让那些成绩不太好的学生优先回答。

他们在正确回答后,心里就对学习多了一份自信。

在课堂的巡视中,一些平时胆小怕问的学生,我指出他们解题过程中的错误,再引导他们做出正确解答,或在他们眉头深锁时发现他们的疑难之处进行适当的启发,结果都收到良好的效果。

这些学生得到老师的关注,一段时间内表现出超出往常的学习热情。

学生往往能从老师的一个眼神,一个手势,一个语态中了解到老师对他们的期望。

而充满感情的教学与学习,其主体往往乐此不疲,并且思维敏捷灵活,富有创造性。

这种氛围下的课堂教学必将取得良好效果。

二.在课堂教学中充分调动学生的积极性,充分发挥学生的主体作用。

刚工作时,我常常搜集一些题目,先讲几道例题,然后让他们模仿。

我自认为这样学生接受效果应该好,但这种学生不思考机械模仿的做法,在考试的检验中证明并不妥当,最常见的表现是题目只做了一点变化,学生就做不出来了。

因此我认为,在课堂上应精心安排问题,尽可能多让学生思考。

如果一味老师灌输,学生少有思考机会,那他们就少有成功的体验。

数学比较枯燥,如何提高学生的学习兴趣往往困扰着很多教师。

回想自己在做学生时,对数学的兴趣就在于征服一道道难题时内心的兴奋和成就感。

我们的学生也应该有这种体验成功喜悦和表现自我的机会。

这就要教者精心设计教学活动,有层次的立障设疑,创设不平衡的问题情境,激发学生内在的学习动机。

限于学生的知识范围及能力有限,应尽量给学生多一点思考的时间。

学生能自主探索得出的,决不替代。

学生能独立发现的,决不暗示。

在学生不能探求的情况下,用事先设计好的过渡性的问题启发,打开思路。

学生在回答问题时,可以会出现各种解答方法,这就要教者的思路高于学生思路,尽可能考虑全面,对课堂出现的突发状况也能冷静处理。

总之,教与学应该是一个协调进行的双边活动,促使学生积极高效的学习。

教师自己唱独角戏,学生做观众的教学不能算是成功的教学。

课堂讨论是一种行之有效的教学方法,能让每个学生都有反馈交流信息的机会。

通过讨论,能起到知识矫正和知识互补的作用,分组讨论回答正确时一组人都受到了表扬。

这种方法若应用适当,收放得当,能扩大提问的面,促进学生思考,受阻的思维可能因其他人的一句话受到启发,豁然开朗。

从而将"一言堂"变成"群言堂",使更多学生有了获得成功的机会,品尝出从学习中得到的快乐。

三.组织好导入部分和结尾部分的教学。

教肓家苏霍姆林斯基说过:"如果教师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态,就急于传授知识,那么这种知识只能使人产生冷漠的态度,而使不动感情的脑力劳动带来疲劳。

课堂前几分钟的导入不可突视,好的开头是成功的一半。

新教材的一大特点是每节课都创设情境导入教学。

教者可以从某一情境出发启发学生思考再过渡到新课教学。

因为积极的思维活动是课堂教学成功的关键,所以教师在上课初就运用启发性教学来激发学生的思维活动必将有效地引起学生对新知识内容的热烈探求。

这种情境可以来自于生活,如在讲黄金分割一课时,利用芭蕾舞演员身体各部分这间适当的比例给人以美感等创设一个利于学生探究和综合应用线段比的情境。

在讲图上距离与实际距离一课时,展示两幅不同比例尺的江苏省地图。

学生结合现实情境通过实践活动体会到研究形状相同的图形,首先要从研究比例线段入手,这些也是现实生活和生产实际的需要。

创设的情境也可以从旧知识类比导入。

这种方法既复习旧知识,又培养了学生类比,联想的能力。

如在讲相似三角形时,可与全等三角形类比引入相似,学生会很容易将全等部分的有关知识迁移到相似中,如对应顶点对应写。

在探索三角形相似的条件时,学生通过与判定两个三角形全等的条件类比,感悟到判定两个三角形相似也可以适当减少条件,从而提高探索的主动性。

在讲分式加减时,则可从分数加减类比引入两个分式如何相加减。

学生完全能类比分数的相应情况,按同分母与异分母两种情况探索分式的加减运算的法则。

但是情境的运用要恰当,不能牵强为设情境现而设情境。

大多数导入还是运用问题情境,它能使学生求知欲由潜伏状转入活跃,有力地调动学生思维的积极性,进入积极的思维状态。

如在讲分式方程这一节时,学生在解方程(5x -4)/(x -2)=[(4x+10)/(3x-6)]-1时,解出X=2,但检验时发现X=2并不是原方程的解,原方程无解,这时为什么所求得的根不适合原分式方程这一问题,激发学生探索原委的欲望,从而展开一系列探索活动。

以上这些问题情境,都是具有一定困难需要努力克服而又力所能及的学习情境。

教学实践证明,创设良好的问题情境可以激活学生的求知欲,促使学生为问题的解决形成一个合适的思维意向,从而收到良好的教学效果。

同样,在课堂结束部分引导学生自我小结归纳本节课内容,可起到突出重难点和巩固知识的作用,也是对学生能力的培养。

如在讲相似三角形应用这一课时,我请学生自我小结,通过学习我懂得了······有同学说,我懂得"三角形"和"八字形"这两种基础图形在题目中常常应用比较重要。

还有同学补充,题目中常出现路灯、人、树,这些都和地面垂直,彼间就相互平行,结合基础图形就有三角形了。

又有学生补充说,相似以后用相似三角形对应边成比例或相似三角形对应高的比等于相似比就能求出一些未知的线段长了。

这些小结使得他们在解决这一类问题时有了大致方向,对其他同学也是一种启发,这时给予他们一定的肯定和鼓励更能增强他们的自信心。