ln(0.99) 402 h 4 0.25 10
故可靠寿命:
t (0.99)
中位寿命:
t (0.5)
特征寿命:
ln(0.5) 27725 .6h 4 0.25 10
ln(e 1 ) t (e 1 ) 40000 h 4 0.25 10
例2.1.2

由此式可见，产品的失效率越小，产品的可靠性越高；反之，失效率越大，产 品的可靠性就 越低。 (t )的估计值(见图2.3)为:

0
dR(t ) (t )dt R(t ) t t (t )dt ln R(t ) R(t ) exp( (t )dt)
0
R ' (t ) (t ) R(t )
例2.1.1 (t ) 0.25104／h，可 若已知某产品的失效率为常数, 靠度R(t)=e t 试求可靠度R=99％的可靠寿命t(0.99) 以及中位寿命t(0.5)和特征寿命t(e-1)。 t 解：已知R(t)=e ，两边取对数，即lnR(t)= - t 得
t ln R (t )



累积失效概率F(t) 累积失效概率是寿命的分布函数，也称为不可靠度，记作 F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概 率，通常表示为 F(t)=P(T≤t) 或 F(t)=1－R(t) 因此F(0)=0，F(+∞)=1。 失效概率密度f(t) 失效概率密度是累积失效概率对时间t的导数，记作f(t)。 它是产品在包含t的单位时间内发生失效的概率，可用下 式表示 t dF (t ) f(t)= 或F(t)= f ( x)dx F (t )



0
tf (t )dt

MTTF的估计值为:
1 n MTTF t i n i 1

(2-1-14)
式中 n —— 测试的产品总数； —— 第i，个产品失效前的工作时间，单位为h。 MTBF的估计值为:
ti
1 MTBF N

t
i 1 j 1
n
ni
ij
(2-1-15)
R(1000) R(1000)

95 0.95 100
F (1000) F (1000)
f (1000 ) f (1000 )


5 0.05 100
1 5 10 5 / h 100 200
(1000 ) (1000 )


1 5.26 10 5 / h 95 200
dt
0

F(t)的估计值
到t时刻失效的产品数 n（t） F ＝ 试验的产品总数 N
f（t）的估计值
f (t )
F (t t ) F (t ) 在时间（t，t＋t）内每单位时间失效的 产品数 t 试验的产品总数
n(t t ) n(t ) n(t ) ＝ Nt Nt
106 104 h 100
2.2 维修性特征量



维修性是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的 时间内，按规定的程序和法进行维修时，保持或恢复到能 完成规定功能的能力。这里，规定的条件是指维修三要素： 产品维修的难易程度(可维修性)；维修人员的技术水平；维 修设施和组织管理水平(备用件、工具等的准备情况)。 如果把产品从开始出故障到修理完毕所经历的时间，即把 故障诊断、维修准备及维修实施时间之和称为产品的维修 时间，记为Y。显然，它是一个随机变量。我们把产品维修 时间Y所服从的分布称为维修分布，记为G(t)。 G(t)=P(Y≤t) 如果y是连续型随机变量，其维修密度函数 g(t)=G(t) 像产品的失效分布一样，维修时间的分布可以通过对维修 数据的处理分析获得大致了解。同样，像衡量产品的可靠 性一样，产品的维修性亦可采用维修度、平均修复时间、 修复率指标加以衡量。

（2-1-22）
式中的 R(t )1 (r ) 是R(t)的反函数。 当R＝0.5时产品的寿命称为中位寿命，即:
t (0.5) R 5 (0.5)

（2-1-23）
当只0.368时产品的寿命称为特征寿命，即:
t (0.368) R 1 (0.368)

（2-1-24）
从定义可看出，产品工作到可靠寿命t(r)，大约有100(1—r)％的产品 失效；产品工作到中位寿命t(0.5)，大约有一半失效；产品工作到特 征寿命，大约有63.2％的产品失效，对于失效规律服从指数分布的一 批产品而言，其特征寿命就是平均寿命，因此约有63.2％的产品将在 达到平均寿命前失效，就是说，能够工作到平均寿命的产品仅占36.8 ％左右。

平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平，而寿命方差和寿 命标准差则能够反映产品寿命的离散程度。 产品的寿命方差定义为:
(t ) f (t )dt t 2 f (t )dt 2
2 2 0 0


（2-1-17）

假如t1，t2，…，tn为从一批产品中所抽取的n个样品的寿命数 据，则这批产品的平均 n 寿命可用 1 t i 来估计。而这批产品的寿命方差的估 n i 1 计值为:
2.2.2 修复率

修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产 品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，可表 示为(t)。它是用单位时间修复发生故障的产品的比 例来度量维修性的一个尺度。 (2-2-2) 式中 m(t)——维修时间的概率密度函数，即
2.2.1 维修度


维修度(Maintainability)是指在规定的条件下使用的 产品发生故障后，在规定的时间(0，t)内完成修复的 概率，记为M(t)。 M(t)=P(Y≤t)=G(t) （2-2-1） 维修度是时间(维修时间t)的函数，故又称为维修度 函数M(t)，它表示当t=0时，处于失效或完全故障状 态的全部产品在t时刻前经修复后有百分之多少恢复 到正常功能的累积概率。
在时间(t , t t )内每单位时间失效的产 品数 n (t ) ＝ 在时刻t仍正常工作的产品数 ( N n(t ))t 式中n(t)的含义与(2—1—8)式中的n(t)相同，n(t)、N与(2—1—2)式中的n(t)、N相 同。
(t )



失效率的单位 (t ) 是一个非常重要的特征量,它的单位通常用时间的 倒数表示。但对目前具有高可靠性的产品来说，就需 要采用更小的单位来作为失效率的基本单位，因此失 效率的基本单位用一个菲特(Fit)来定义，1菲特=，它 的意义是每1000个产品工作10h，只有一个失效。有 时不用时间的倒数而用与其相当的“动作次数”、 “转数”、“距离”等的倒数更适宜些。 失效率曲线 产品的可靠性取决于产品的失效率，失效率曲线又称 为浴盆曲线(Bathtub-curve) 。


第二段曲线是元件的偶然失效期，也称随机失效期： 这一阶段的特点是失效率较低，且较稳定。产品可 靠性指标所描述的也就是这个时期，这一时期是产 品的良好使用阶段。 第三段曲线是元件的耗损失效期：这一阶段的失效 率随时间延长而急速增加，元件的失效率属于递增 型。到了这一阶段，大部分元件都要开始失效，其 失效是由带全局性的原因造成的，说明元件的损伤 已经严重，寿命即将终止。当某种硬件的失效率已 达到不能允许值时，就应进行更换或维修，这样可 延长使用寿命，推迟耗损失效期的到来。
2
（2-1-20）
（2-1-21）
2.1.6 可靠寿命、中位寿命和特征寿命


当R(t)已知时，可以求出任意时间t的可靠度，反之，若确定了可靠度， 也可以求出相应的工作寿命(时间)。可靠寿命就是指可靠度等于给定 值r时产品的寿命，记作t(r)，即R[t(r )]=r。 可靠寿命的表达式为:
t (r ) R 1 (r )

时刻的失效率
t 0
(t ) lim (t , t ) lim
t 0
P(t T t t ) F (t t ) F (t ) F ' (t ) lim P(T t )t tR(t ) R(t ) t 0
F ' (t ) f (t ) R ' (t ) (t ) 1 F (t ) R(t ) R(t )


失效率 (t)
失效率(瞬时失效率)是：“工作到t时刻尚未失效的产品， 在该时刻t后的单位时间内发生失效的概率”，也称为失 效率函数。由失效率的定义可知，在t时刻完好的产品， 在(t，t+△t)时间内失效的概率为P(t<T≤t+△t I|T>t)，在时 间t 内的平均失效率为 P(t T t t | T t ) (t , t ) 当△t →0时，就得到在t t
第二章 可靠性的概率统计知识
可靠性：产品、设备、系统在规定时间内，规定条件下， 完成规定功能的可能性及能力。 概率论和数理统计是可靠性工程重要的数学基础。 2.l 可靠性特征量 可靠度 可靠度是“产品在规定条件下和规定时间内完成规定功 能的概率”。可靠度是时间t的函数，故也称为可靠度 函数，记作R(t)。通常表示为 R(t)=P(T>t) (2-1-1) R(0)=1，R(+∞)=0。 到时刻t仍在正常工作的产品数 N－n（t） ＝ R(t)的估计值为R(t)= 试验的产品总数 N
式中 n——测试的产品总数； N——测试产品的所有故障数； ni——第i个测试产品的故障数； tij――第i个产品的第j－1次故障到第j次故障的工作时间，单位 为h。 因此MTTF和MTBF的估计值可表示为 :
所有产品总的工作时间 1 ＝ 总的故障数 N

t
i＝ 1
N
i
2.1.5 寿命方差和寿命标准差