di u L dt 1 1 W L Li 2 2 2 2L
关系式
积分 关系式
1 t iL (t ) uL ( )d L 1 t iL (0) uL ( )d L 0
状态变量 uC (0 ) uC (0 )
i L (0 ) i L (0 )
i
线性定常电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。 ~ i
特性是过原点的直线
(t ) Li (t ) or L

i

=曲线的斜率

i L u (t)
O
i
电路符号
+
单位
-
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨) (Henry，亨利)，常用H，m H表示。
关于电感器
u1(t)= -5e-t +20e-2t(V) ,t 0，
W
k 1
2
k
(0) 25 J 求 R、L、C 的值。
L 0.5H R 1.5
C 1F
P256思考题6-10、6-11 、6-12
§6－8 电容、电感的串、并联等效
n个初始电压为零的电容的串联电路
C1 Ck Cn + un _ _ 等效
§6－6 电感元件 的VCR
形式1 i L u (t)
根据电磁感应定 律与楞次定律
+
解读：
u、i 取关
联参考方向
d di ( t ) u( t ) L dt dt
电感元件VCR 的微分关系
(1) 电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与i 的大小无 关，电感是动态元件； (2) 当i为常数(直流)时，u =0。电感相当于短路； (3)实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流i 不能跃变，必定是时间的连续函数.
声明：
当 u，i为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
电感具有两个基本的性质
(1)电感电流的记忆性
电感电流有“记忆”电压的作用
任意时刻T电感电流的数值iL(t)，要由从-到时刻T之间 的全部电电压 uL(t)来确定。也就是说，此时刻以前任何电感 电压对时刻T 的电流都有一定的贡献。这与电阻元件的电压
+ uo _
y x dt
x
duo ui C R dt 1 uo ui dt RC
-1
y

-y
（2）用电容与理想运放构成的微分器 iR
R
_ + +
iC + ui C _
微分环节
iu-
u-=0 i-=0
+ uo _
y dx dt
x
d dt
iR= iC uo dui C R dt dui uo RC dt
t
t
1 2 即WL (t ) Li (t ) 2
di 1 2 WL Li dξ Li (ξ ) t0 dξ 2 t0
t
t
1 2 1 2 Li (t ) Li (t0 ) 2 2
1 2 WL Li (t ) 2
说明
（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不 能跃变，反映了储能不能跃变； （2）电感储存的能量一定大于或等于零。 （3）电感电流的绝对值增大时，电感储能增加；电感 电流的绝对值减小时，电感储能减少。 由于电感电流确定了电感的储能状态，称电感电流为状态变量。
3. 电感的功率和储能 功率
di p ui L i dt
u、 i 取关
联参考方向
(1)当电流增大，i>0， 电感吸收功率。
di 0，则u>0，， p>0, dt di dt
(2)当电流减小，i>0， 0 ，则u<0，，p<0, 电感发出功率。
说明
电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量 储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元 件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
n 1 1 1 1 1 Leq L1 L2 Ln k 1 Lk
电感像电阻；电 感与电容对偶！
两个电感、两个电容的串联、并联等效
两个电感、两个电容的串联、并联的分压、分流
补充：（1）用电容与理想运放构成的积分器
iC
iR + ui _
积分环节
C _ +
R
iu-
+
u-=0 i-=0 iR= iC
图7-16
举例
例1： 电感端电压波形如图所示,已知iL(0)=1(A)求iL(t) ， 并绘出iL(t)的波形。
按面 积求
1 t iL (t ) iL (t0 ) u L ( )d L t0
举例
例2：如图所示电路，由R、L、C 组成。 已知： i(t) =10e-t- 20e-2t(A) t 0，
i (t ) i (t )
L L
i (0 ) i (0 )
L L
结论：若电感电压有界，则电感电流不能跃变，即只能连续变化 。 电感电流的连续性质是分析含电感元件电路的重要概念。
电感的等效电路
t 1 i L (t ) u( )d L t0 t t 1 1 1 u( )d u( )d uC (t0 ) u( )d L L t0 L t0 t 1 =I 0 + u( )d = I 0 +i 1(t ) t t0 L t0
k 1
n
n个初始电流为零的电感的串联电路
L1 Lk Ln
i
+
+ u1 _
+ uk _
+ un _
_
u
Leq
等效
i u + _
n
Leq L1 L2 Ln Lk
k 1
n个初始电压为零的电感的并联电路 i + i
u L1 _
i1 i2 L2
ik
Lk Ln
in
等效
+ u _
Leq
或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电
感是一种记忆元件。
(2)电感电流的连续性
若电感电压u L(t)在闭区间[ta，tb]上有界，则电感电流
i L(t)在开区间( ta，tb )内连续。即对于( ta，tb )内的任意时 刻t，恒有 i L(t- )= i L(t+ )= i L(t) （证略）
形式2
i(t ) ຫໍສະໝຸດ 1 t L udξ
1 t udξ 1 t udξ L L t t 1 i(t ) L t udξ
0 0 0 0
解读：
电感元件VCR 的积分关系
（1）电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件 （2）上式中i(t0)称为电感电流的初始值，它反映电感初 始时刻的储能状况，也称为初始状态。
§6－5 电感元件 (inductor)
电感器
把金属导线绕在一骨架上构 成一实际电感器，当电流通 过线圈时，将产生磁通，是 一种储存磁能的部件
（t)＝N (t)
i (t)
+
u (t)

电感元件定义
电感元件的定义是：如果一个二端元件 在任一时刻，其磁通链与电流之间的关 系由i－平面上一条曲线所确定，则称 此二端元件为电感元件。
C eq i u
i
+
+ u1 _ + u k _
u
_
n 1 1 1 1 1 ( ) Ceq C1 C2 Cn k 1 Ck
+
n个初始电压为零的电容的并联电路 i + i
u C1 _
i1 C2
i2 Ck
ik Cn
in
等效
+ u _
Ceq
Ceq C1 C2 Cn Ck
电容元件与电感元件的比较：
电容 C 电压 u 电荷 q
q Cu du iC dt 1 1 2 W C Cu 2 q 2 2C
1 t uC (t ) iC ( )d C 1 t uC (0) iC ( )d C 0
电感 L
变量
电流 i
磁链
Li
结 论
(1) 元件方程的形式是相似的； (2) 若把 u-i，q- ，C-L， i-u互换,可由电容元件 的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶元素。 * 显然，R、G也是一对对偶元素: U=RI I=GU I=U/R U=I/G
例 电路如图7-16(a)所示，已知L=0.5mH的电感电压波 形如(b)所示，试求电感电流。
-1 y
-y
2012-04-10作业
• • • P262 P262 P263 习6-6、7 习6-11 习6-16 （电感的VCR、储能） （电容、电感的性质） （电容电感的混联）
储能
从t0到 t 电感储能的变化量：
di 1 2 WL Li dξ Li (ξ ) t0 dξ 2 t0
t
t
1 2 1 2 Li (t ) Li (t0 ) 2 2
任一时刻电感的储能
di 1 2 WL Li dξ Li (ξ ) dξ 2 1 2 1 2 Li (t ) Li ( ) 2 2 若 i ( ) 0 1 2 Li (t ) 2