4
原式
/4 tan 2 t sec2 t
0
sec4 t dt
/ 4 sin2 t dt 1
/4
(1 cos 2t)dt
0
20
1 sin2t /4 1 .
84
0 84
7
第7页/共31页
例8 求函数 y x2 在区间[1 , 3 ] 上的平均值.
1 x2
22
解
3
2 1
2
1
30 (t 1 1 t )dt
3( 1 2
t2
t
ln | 1
t
|
)2 0
3ln 3 .
5
第5页/共31页
例6 计算 ln3 e x 1 dx . 0
解 令 ex 1 t ，e x 1 t 2 ，x ln(t 2 1) ，
dx
2t t2
1
dt
，x
:0
ln 3 ，
t
:
2 2，
x t
f ( x)dx
a
f (t)dt
a f ( x)dx ，
a
0
0
a
f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx ，
a
0
10
第10页/共31页
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
(1) f ( x)为偶函数, 则
y y f (x)
f (x) f (x),
1
2 x
1
1 x 2 (e x e x 1) dx 2 1 x2 dx 2 .
1
0
3
12Leabharlann 第12页/共31页例11 设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数，证明：
aT f ( x)dx
T f ( x)dx .
a
0
aT
证
f (x)dx
a
0
T
aT
a f ( x)dx 0 f (x)dx T f (x)dx ,
奇函数
1 (x
1 x2 )2 dx
1 ( x2 2x 1 x2 1 x2 )dx
1
1
1
1dx
1
2x
1 x2 dx 2 .
1
1
奇函数 奇函数
1 ln( x
1 x2 )dx 0 ,
1
1
(
1
1 2x
1
1 ) dx
2
0
,
1
2 x
1
(1 ln )dx dx 2 ,
aT f ( x)dx x T t
a
f (t T )dt
T
0
a
0
0 f (t)dt a f ( x)dx ,
a T
T
a f ( x)dx 0 f ( x)dx .
13
第13页/共31页
例12 设 f (x) 在[0，1] 上连续,证明：
/2
(1) 0 f (sin x)dx 20 f (sin x)dx .
0 1 x2
2 0 1 x2
2
1 x2 5 1.
0
3
第3页/共31页
例4 计算 sin x sin3 x dx . 0
解
原式
sin x cos 2 x dx
| cos x |
sin x dx
0
0
2 cos x
0
sin x dx
cos x
sin x dx
2
2 0
sin x dsin x
a
a
f ( x) dx 2 f ( x) dx
a
0
(2) f ( x)为奇函数, 则
o
x
y y f (x)
f (x) f (x),
a
f ( x)dx 0 . a
o
x
11
第11页/共31页
sin x cos x
例10
dx 0 .
1 a2 sin2 x b2 cos 2 x
设 f (x) 在[a, a] 上连续,那么
a
a
(1) 若 f ( x) 为偶函数,则 f ( x)dx 2 f ( x)dx ；
a
0
a
(2) 若 f ( x) 为奇函数,则 f ( x) dx 0 . a
证
a
f ( x)dx
a
f ( x)dx
0 f ( x)dx ，
a
0
a
0
x0 x0,
求
2
f ( x 1)dx .
0
解 令 x1 t，
原式
1
f (t)dt
1
f ( x)dx
1
1
1
0 1 x
2xdx
dx
0
1 1 x
x2 1
0
(1
2 )dx
0
1
1 x
1 1 2ln(1 x) 0 2 ln 2 . 1
9
第9页/共31页
利用函数的奇偶性简化计算.
2
第2页/共31页
例1 / 2 cos 5 x sin x dx / 2 cos 5 x d cos x
0
0
1 cos6 x / 2 1 .
6
0
6
例2 3
dx
2
3d
x 2arctan
3 2 x .
0 x (1 x) 0 1 x
03
例3 2 x dx 1 2 1 dx2
sin x dsin x
2
2
s
in
2 3
x
2
2
s
2
in3
x
4
.
3
03
23
4
第4页/共31页
8 dx
例5 计算
.
01 3 x
解 令 3 x t ，x t 3 ，dx 3t 2dt ， x : 0 8, t : 0 2，
原式
2 3t 2
2 t2 11
dt 3
dt
01 t
0 1 t
2
x2 dx x sint 1 x2
3 6
sin2 t cos t
cos t
dt
3
sin2
t
dt
6
1 2
3
(1
cos 2t)dt
6
12
1 sin2t / 3
4
/6
，
12
所以平均值等于
12
(
3 2
1 2
)
3 1 .
12
8
第8页/共31页
例9
设
f
(x)
12xx, 1 x
,
1
第1页/共31页
b
f ( x)dx
f [(t)] (t)dt
a
注意:
(1) 应用定积分的换元法时,与不定积分比较， 多一事：换上下限； 少一事：不必回代；
(2) x (t ) 应单调,当 t 从 变到 时, x 从 a 变 到 b,不重复,不遗漏；
(3) 逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.
b
f ( x)dx
f [(t)] (t)dt
a
证 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，故原函数存在，设 F(x)是 f (x) 的一个原函数，则有
f [(t)](t)dt f [(t)]d(t)
F[ (t )]
F[ (
)]
F[ ( )]
b
F (b) F (a) a f ( x)dx .
原式
2 2t
2
1
2
t
t2
dt 1
2
2
(1
t
2
) dt 1
2(2 2) ln t 1 2 2(2 2) ln 1 ln
t1 2
3
2 1 2 1
2(2 2 ) ln 3 2 ln( 2 1) .
6
第6页/共31页
例7
计算
1 x2 0 (1 x 2 )2 dx .
解 令 x tant, dx sec2t dt ， t : 0