O(h2 )
所以，隐式
Euler
方法也是
1
阶方法，其截断误差的主项是
h2 2
y(xn ) 。
8.对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法. 解：其局部截断为
Tn1

y(xn1 )
y(xn )
h[f 2
(xn ,
y(xn ))
f
(xn1 ,
y(xn1 ))]
当 k=2，x3=0.6 时，已知 x2=0.4,y2=0.614 4，有
y(0.6)y3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0
10. 用 欧 拉 预 报 － 校 正 公 式 求 解 初 值 问 题
y

y()
y

y
sin
x


，取步长
h=0.2, 计 算
。 。 。 。
3.求解初值问题

y y
(
x
f )
(x, y) y
欧拉法的局部截断误差是(
);
改进欧拉法的局部截断误差是( );
四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ).
(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( )

y(xn1 )
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
而且 y(xn1 ) f (xn1, y(xn1 )) ，也在 xn 处作 Talor 展开，有
y(xn1 ) y(xn ) hy(xn ) O(h2 )
所以，因此其局部截断为

k2 ]
，整理后
y(xi1) y(xi ) O(h3 )
陈以平编写
13. （1）取步长为 0.1，试用欧拉公式求解常微分方程初值问题
y x y 1

y(0)

1
在 x=0.4 处的近似值(计算过程保留 3 位小数)；
(2) 试用泰勒展式估计改进欧拉公式的局部截断误差。
解:（1）欧拉公式为: yi1 yi h(xi yi 1) ,计算结果为：

y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn ) O(h4 )

y(xn )
h 2
y(xn )
h 2
y(
xn
)

h2 2
y
(
x
n
)

h3 12
y(xn ) O(h4 )

h3 12
y(xn )

O(h4 )

O(h3 )
Tn1 y(xn1 ) y(xn ) hf (xn , y(xn )) 对 y(xn1 ) 在 xn 处作 Talor 展开，有
y(xn1 )
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
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陈以平编写
.(A)

y y
p c

yk yk
hf hf
(xk , (xk ,
yk yp
) )
yk


(yp

yc )

(B)

yp yc

yk yk
hf hf
(xk , yk (xk , y p
) )
yk


(yp

又
y
f
(x, y) ，
y
f
' x
(
x,
y)
yf
y y(. . y sin x) . (. .sin.) .
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y(.) y . (. . . sin.) .(. . sin.)
yk (1 h) (1 h h 2 )

hxk 1

h2 xk


y
k
1

1 2[yp

yc ]
1 [h(1 2
h)xk

hxk1 ] (1
h
h2 2 )yk
当 k=0 时，x0=0,y0=1,x1=0.1,有
y1

1 2
[0.1
(1

0.1)

0

O(h2 )
所以，显式 Euler 方法是 1 阶方法，其截断误差的主项是 h2 2
y(xn ) 。
7.对隐式 Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为
Tn1 y(xn1 ) y(xn ) hf (xn1, y(xn1 )) 对 y(xn1 ) 在 xn 处作 Talor 展开，有
有
y(xn1 )

y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
所以，因此其局部截断为
Tn1

y(xn1 )
y(xn )
h[f 2
(xn ,
y(xn ))
f
(xn1 ,
y(xn1 ))]
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陈以平编写
Tn1 y(xn1 ) y(xn ) hf (xn1, y(xn1 ))

y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
y(xn ) hy(xn ) h2 y(xn ) O(h3 )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
0.2 yk (4 xk yk )(k 0,1,2) 当 k=0，x1=0.2 时，已知 x0=0,y0=1，有
y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0
当 k＝1，x2=0.4 时，已知 x1=0.2, y1=0.8，有
y(0.4)y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4
预报值 校正值
y k 1

yk
h( yk

y
2 k
sin
xk
)
yk (0.8 0.2 yk sin xk )
y k 1

yk

h 2
[(
y
k

y
2 k
sin
xk
) ( y k 1

2
y k 1
sin
xk 1 )]

yk
(0.9
0.1y k
y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留 5 位小数.l
解 步长 h=0.2, 此时 f(x,y)=－y－y2sinx.
欧拉预报－校正公式为：
有迭代公式：
预报值 校正值
y k1 yk hf (xk , yk )
yk 1

yk

h 2
[
f
(
xk
,
y
k
)

f (xk1 , y k1 )]
k1 f (xi , yi ) y(xi )
k2 f (xi h, yi hk1) f (xi , yi ) hfx(xi , yi ) hk1 f y(xi , yi )

1 [h2 2!
f

xx
(
xi
,
yi
)

2h
2k1
f

xy
(
xi
,
yi
)

h2
k12
而且 y(xn ) f (xn , y(xn )) ，因此其局部截断为
Tn1 y(xn1 ) y(xn ) hf (xn , y(xn ))

y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
y(xn ) hy(xn )

h2 2
y(xn ) O(h3 )
f

yy
(
xi
,
yi
)]

O(
h3
)
陈以平编写
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又 y(xi ) fx(xi , yi ) f y(xi , yi ) y(xi ) fx(xi , yi ) f y(xi , yi )k1
代入
yi 1

yi

h 2
[k1
yc )

(C)

yp yc

yk yk
hf hf
(xk , yk ) (xk , y p
)
yk

h
(yp

yc
)
答案：(D)

(D)

yp yc

yk yk

hf hf
(xk , yk ) (xk , y p
)
yk
所以，梯形公式是
2
阶方法，其截断误差的主项是
h3 12
y(xn )
。
9.用欧拉法解初值问题
y

y()
y xyBiblioteka (x
.)
，取步长
h=0.2.计算过程保留
4
位小数.
解: h=0.2, f(x)=－y－xy2.首先建立欧拉迭代公式