§1 复变函数的定义由两个实数x，y确定的数z=x+i y称为复数。
x，y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Re z 和y =Im z。
Re和Im分别为表示复数实部和虚部的符号。
其中称为虚数单位。
显然z可以用直角坐标系（x，y）表示，x称为实轴，y称为虚轴。
坐标平面称为复平面，或者z平面。
因此，z平面上的任一点可记作称为复数z的模，称为z的幅角，其在[0，2 ]之间的值称为主幅角。
显然，复数可以写作极坐标表达形式。
设有一个复数z=x+i y的集合g。
对于集合g中的每一个复数z都有对应的复数值，w=u+i v，则称w是z的复变函数，记作w = f (z)。
给定一个复变函数就是在点（x，y）与（u，v）之间给出了一一对应关系。
因此，u，v均随x，y而确定，这就是说给定了一个复变函数和给定两个实变函数u=u（x，y），v=v（x，y）是等价的。
而且w=u（x，y）+i v（x，y）复变函数和实变函数同样有单值函数和多值函数，应该注意到实变函数的性质对于复变函数可能是不成立的。
例如复变函数中的对数函数w=ln z是多值的。
为了便于理解，以对数函数为例。
设。
上式对于z的所有不等于零的复数值定义了函数ln z。
在公式中包含一个任意的整数k，这就是说ln z是一个多值函数。
对于k的任一整数值，就有函数ln z的一个分支。
通常取k=0的那一支叫做的主值，即如果z的一个值对应着w的一个值，那么函数f（z）是单值函数；如果z的一个值对应着两个或两个以上的w值，则f（z）是多值函数。
集合g称为f（z）的定义集合。
§2 解析函数--复变函数的可导性复变函数的导数与实变函数的导数定义是相同的。
因此，关于实变函数的一系列微分公式与法则，可以完全照搬到复变函数上。
不过应该注意的是，复变函数的变量是复变量，不是实变量。
值得指出的是，实变函数的可导性要求当x＝x0+∆x 由左右两方趋近x0时，∆y/∆x的极限都存在而且相等。
复变函数的可导性则要求当点z＝z0+∆z 在复平面上沿任意路径趋近z0时，∆w/∆z的极限都存在，而且这些极限都相等。
讨论点z沿x轴和点z沿y轴方向趋近x0两种情况。
在第一种情况下，由于∆y=0，因此∆z =∆x，而。
令，取极限, 则。
在第二种情况下，由于∆x=0，因此∆z =i∆y，而。
令，取极限, 则。
因此，若复变函数的导数 f '(z) 存在，则应有关系。
上述关系称为柯西--黎曼（Cauchy--Riemann）条件。
对于解析函数w=u（x，y）+i v（x，y），由于满足柯西--黎曼条件，即解析函数实部和虚部之间满足关系。
所以，。
上式即平面上的拉普拉斯（Laplace）方程，这个方程的解称为调和函数。
所以解析函数的实部和虚部都是调和函数。
§3 保角变换映射:函数w=f（z）将z平面上点的集合变换到另一个平面（w平面）上的一个点的集合。
解析函数w=f（z）在点z0 所实现的变换，是把点z0 处的所有线素皆按同一比例伸长，而且任意两条曲线之间的交角保持不变。
具有这种性质的变换称为保角变换。
解析函数所实现的变换在其导数不为零的一切点处都是保角的。
函数w=f（z）的定义集合是z平面上的一个点的集合g，而把函数集合G看成是另一个平面（w平面）上的一个点的集合，那么w=f（z）在几何上就是把集合g变到集合G的一个变换（映射）。
设解析函数w=f（z）把z平面上的点z0变到w平面上的点w0=f（z0），把过点z0 的曲线C变到过点w0的曲线C1。
点z0 +∆z为C上点z0 的邻近点，点w0+∆w为C1上点w0的邻近点，而且为z0 +∆z的对应点。
这时∆z为从点z0 到z0 +∆z的矢量，而∆w为从点w0到w0+∆w的矢量。
由w=f（z）的解析性可知，当∆z→0，有∆w→0。
而且，不论曲线C如何选取，这一关系都将成立，那么取模则有上式表示了z平面上在所给点z0 的线素与对应的w平面上的线素的比值，这个比值与从z0 点所引的曲线无关。
代表平面上的线素对于z 平面上的线素的倍数。
因此，称它为伸长系数。
考虑幅角可得这里设f '(z0)≠0 ，否则幅角将无法确定。
因为商的幅角等于被除数的幅角减去除数的幅角，所以。
因为当∆z→0时，。
所以设α 和β 是曲线C1与C2在对应点的切线与实轴的交角。
因此。
上式表示在平面上过点z0 的任一条曲线的切线变到平面时都转过同一个角度，这个角度的大小就是arg f '(z0)。
由于这个性质，将arg f '(z0) 称为变换的旋转角。
由此可见，如果C1与C2是从点z0出发的两条曲线，C'1与C'2为从w0出发的两条相应的曲线，则C'1与C'2在所成的交角必等于C1与C2在点z所成的交角。
曲线的交角在这个变换下是不变的。
总之。
当f '(z0)≠0 时，解析函数w=f（z）在点z0所实现的变换，是把点z0处的所有线素皆按同一比例伸长，而且任意两条曲线之间的交角保持不变。
具有这种性质的变换称为保角变换。
解析函数所实现的变换在其导数不为零的一切点处都是保角的。
解析函数在导数为零处，保角性一般要受到破坏的。
导数为零的点称为变换的驻点。
§4 复变函数的积分复变函数沿曲线的积分与实变函数的线积分的概念相当。
设有从点a到点b的一条曲线C，复变函数f（z）在包含C的一个区域内有定义。
将曲线用点a = z0，z1，z2，…，z n-1，z n=b分成z0，z1，z2，…，z n-1，z n若干小段，而且z0<z1< z2 <，…，<z n-2 <z n。
取和数如函数f（z）是连续的，曲线C是分段光滑的，则和数S n当n无限增大，而每两相邻分点的距离趋近于零时（即），有完全确定的极限这个极限称为f（z）沿曲线C的线积分。
对于解析函数，如果f（z）=u+i v在单连域S内单值解析，则其应满足柯西--黎曼条件。
而d z=d x+id y如果积分起点与终点重合时，即C为闭合曲线，则由格林积分公式这一结果说明：解析函数在单连域内沿任一闭曲线的积分为零。
柯西积分公式：对于解析函数f（t）在区域S内处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的任一点。
对于积分上式中，t为闭曲线C上的点。
假如解析函数f（t）在区域S内处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为C外的任一点，则如果解析函数f（t）在区域S外，包括无穷远点处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的任一点，于是保角变换为了便于根据边界条件确定K-M函数，采取保角变换z = ω (ξ)将物体在z平面上所占的区域变为在ξ平面所占的区域。
一般的说，通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。
假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为ξ平面的单位圆内的区域∑，并且将z平面上的区域S的边界l 映射为单位圆γ，对应的关系如下表：由于ξ 平面上的任一点可以表示为。
ρ和ϕ是点ξ 的极坐标。
而根据保角变换公式z = ω (ξ)，则z平面任意一点也可以通过ρ和ϕ表示。
因此，ρ 和ϕ 又称为曲线坐标。
对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。
曲线坐标的概念：ξ平面的一个圆周ρ =const和一条径向直线ϕ =const分别对应于z平面的两条曲线，这两条曲线就记作ρ =const和ϕ =const。
于是ρ和ϕ可以看作z平面上一点的曲线坐标。
由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正交的，而且坐标轴ρ 和ϕ 的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所示。
位移的曲线坐标首先讨论矢量的保角变换。
设曲线坐标ρ，即ϕ =const与x轴夹α角，如果A 为z平面上的任一矢量，设A与曲线坐标ρ 夹β角。
设A x, A y分别表示矢量A 在x，y轴的投影；Aρ ,Aϕ 表示在ρ=const和ϕ =const上的投影，则上式的几何意义为，将矢量A绕z点顺时针方向转动α角后，其在Oxy 坐标系的位置，相当于A在曲线坐标系（ρ，ϕ）中的位置，如图所示。
如果用uρ , uϕ 分别表示曲线坐标下的位移矢量分量，则根据保角变换，有所以沿曲线（ρ）取微分线段d z，则在ξ平面对应的有dξ，由于所以，取其共轭可得。
将上式回代到公式，可得下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。
首先，设K-M函数和ψ (z)分别使用和ψ 1(z)代替，同时令根据位移表达式，有在z 平面上，将位移矢量向曲线坐标ρ和ϕ投影。
由公式可得上式两边同时乘以2G，可得上式是ξ平面上的曲线坐标系表达的位移表达式。
应力分量的保角变换下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达式。
如果用σρ, σϕ , τρϕ表示物体在曲线坐标中的应力分量。
则因为和,而由公式所以上式为经过保角变换后，z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数表达式。