（1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点；
at f (t) Me
（2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：
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该条件使得积分绝对值收敛。
8
2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
2、拉氏反变换 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作：
L [e ] e e dt e(sa)t dt
at at st 0 0


e(sa)t 1 s a 0 s a
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为：

1 j j t sin t ( e t e ) 2 j
st st e e st L [t] te dt t ( )dt 0 s 0 0 s

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0
est 1 st 1 dt 2 e 2 0 s s s
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) e
at
指数函数的拉氏变换为：
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2.5 拉氏反变换的数学方法
拉氏反变换的数学方法有： (1) 查表法－简单象函数； (2) 有理函数法－需要复变函数的留数定理； (3) 部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式 之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数； (4) 利用MATLAB求解。
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6. 微分定理
若 时 间 函 数 ft ( ) 的 拉 氏 变 换 为 F ( s ) ， 且 其 一 阶 导 数 f ' ( t ) 存 在 ， 那 么
L [ f ' ( t ) ] s F ( s ) f ( 0 ) 其 中 f ( 0 ) 是 时 间 正 向 趋 近 于 零 时 的 ft ( ) 值 。
控制工程理论基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
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提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
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拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。 时域的微分方程
L1[F(s)]
定义为如下积分：
j 1 st f( t ) L [ F ( s )] F ( s ) e ds j 2 j 1
(2－2)
其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 定义为：
L [ ( )() g d ] F ( s )( G s ) ft
t 0
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2.5 拉氏反变换的数学方法
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 1 为拉氏反变换。记为 。 L [F (s )] 由F(s)可按下式求出
1
j 1C st f ( t ) L [ F ( s )] ( s ) e ds ( t 0 ) F C j 2 j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须 是一种能直接查到的原函数的形式。
2.4 拉氏变换的性质
1. 线性性质－线性变换
L [ K f ( t ) K f ( t )] K L [ f ( t )] K L [ f ( t )] 1 1 2 2 1 1 2 2 K F ( s ) K F ( s ) 1 1 2 2
(2-3)
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2.4 拉氏变换的性质
若 ft ( ) 的 拉 氏 变 换 为 F () s , 则 对 任 一 常 数 a ( 实 数 或 复 数 ） ， 都 有
a t L [ e ft ( ) ] F ( s a )
（ 26 － ）
复 数 域 位 移 定 理 的 应 用 ：
t Le [ a s i n t] 2 2 ( s a ) n ! a t n Le [ t ] n 1 ( s a )
19
2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换
设f(t)是以T为周期的周期函数，即：
f( t n T )f() t
则f(t)的拉氏变换为：
1 T s t Lf [ () t ] f () t e d t s T 0 1 e
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20
2.4 拉氏变换的性质
4. 复数域位移定理(也称衰减定理)
25
2.4 拉氏变换的性质
10. tf(t)的拉氏变换
若 L [ f() t] F () s, 则 函 数 t f() t的 拉 氏 变 换 为 d L [ t f() t] F () s d s ( 2 1 7 )
11. f(t)/t的拉氏变换
若 Lf [ () t ] F () s, 则 函 数 f() t /t 的 拉 氏 变 换 为 f() t L [ ] F () sd s s t
st
14
2.3 典型时间函数的拉氏变换
7 幂函数（作业）
其拉氏变换为：
n ! L [ t] t e dt n 1 0 s
n n st
例：
L [t2] 2 ! 2 3 3 s s
常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏 变换。
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利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
T T s s 4 4 4 4 2 2 F ( s ) L [f( t )] 2 2 2 2e 2 2e 2 2esT Ts Ts Ts Ts T s 4 sT 2 2( 1 2 e 2 e ) Ts 2019/3/11
( 2 1 8 )
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2.4 拉氏变换的性质
12. 卷积定理 函数f(t)和g(t)的卷积定义为：
t ) g () d f ( t ) g ( t ) f(
t 0
其中，函数f(t)和g(t)满足：当t<0时， f(t)=g(t)=0
拉氏变换的卷积定理：若 函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的 条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且：
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若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例 1： 1 1 1 1 F ( s ) ( ) ( s a )( s b ) b a s a s b
at bt e e 则 f( t) b a 1 例2：求 F(s) s2(s 1 ) 的逆变换。 1 1 1 1 F (s ) 2 2 s (s 1 ) s s s 1 解：
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2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
1、拉氏变换 有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)， 并定义为：
L [ f ( t )] F ( s ) t ) e dt f(
st 0

(2－1)
f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：
拉氏变换
复数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
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引言 复数和复变函数 （1）复数的概念
s j ,
数。 j 1
其中， ,
均为实
为虚单位。 （2）复数的表示法 s j , 点表示法 2 2 arctan 向量表示法 s r r (cos j sin ) 三角函数表示法 s j j e cos j sin s re 指数表示法 2019/3/11 4
利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
1 1 sT 1 sT L [ f ( t )] e ( 1 e ) Ts Ts Ts
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例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。
图示三角波函数表达为：
T T f( t )f ( t )f ( t )f ( t )f ( t T ) 1 1 1 1 2 2 4 4 T 4 T 4 2t 2( t ) 2( t ) 2( t T ) T T 2 T 2 T
0, t 0 1(t) 1, t 0
单位阶跃函数的拉氏变换为：
st 1 e st L [ 1 ( t )] 1 ( t ) e dt 0 s0 s
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2.3 典型时间函数的拉氏变换
2 单位脉冲函数 定义为： , t 0 (t) 0, t 0 单位脉冲函数的重要性质：
2. 实数域的位移定理－延时定理
as L [ f ( t a )] e F ( s )
(2-4)
其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延 迟a秒的延时函数，且：
f( t a ) 0 , t a
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例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。
图示方波函数表达为：
f (t) f1(t) f1(t T) 1 1 1 (t) 1 (t T) T T
（ 2 － 8 ）
7. 积分定理
假设 f (t )的拉氏变换 F ( s )，则 t F (s) L[ f (t ) dt ] 0 s