3a 2 ) 3ma 2 2
a 3a J y 1 0 2 m( ) 2 2 ( ) 2 1 m(2a) 2 9ma 2 2 2
J z 1 0 2 ma 2 2 ( 3a) 2 1 m(2a) 2 12ma 2
（2） J y 2 ma 4 m( ) 3ma
2 2
a 2
2
或根据平行轴定理 J y J y 6m a 3ma
2
2
5
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3-11 匀质圆盘质量为 m 、半径为 R ，放在粗糙的水平桌面上，绕通过 盘心的竖直轴转动，初始角速度为 0 ，已知圆盘与桌面的摩擦系数为 ， 问经过多长时间后圆盘静止？ 解：可以把圆盘看成由许许多多的小圆环组成，其中半径为 r 、宽度 dr 的质量为
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第三章 刚体
习题
3-1 一汽车发动机曲轴的转速在 12s 内由每分钟 1200 转匀加速地增加到 每分钟 2700 转，求： （1）角加速度； （2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解： （1） 1 40 (rad / s )
2 90 (rad / s)

2 1
习题 3-14 图 习题 3-15 图
解：设作用在飞轮上的压力为 N ，则有
N 0.5 F (0.5 0.75) ，得 N 250( N)

M NR 40 1 ( rad / s ) 2 J 3 2 mR
又 0
2 900 0 0 30 (rad / s) ， 所以 t 7.07( s) 60
3-5 一个砂轮直径为 0.4m，质量为 20kg，以每分钟 900 转的转速转动。 撤去动力后， 一个工件以 100N 的正压力作用在砂轮边缘上， 使砂轮在 11.3s 内停止，求砂轮和工件的摩擦系数(忽略砂轮轴的摩擦)。 解： M J 其中 M NR ，得
d M NR dt J J
0
my 2 dy 1 1 ml 2 ，即 J x J 左x J 右x ml 2 l cos 30 4 4
1 2 ml 3
（2） J y J 左y J 右y , 其中 J 右y
l
mx 2 dx x 2 2 m , dJ 左y dmx x ， dl l l sin 30 sin 30
（ 2） A 3-4
一个半径为 R 1.0m 的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转
轴转动。一根轻绳绕在圆盘的边缘，其自由端悬挂一物体。若该物体从静止 开始匀加速下降，在 t ＝2.0s 内下降的距离 h ＝0.4m。求物体开始下降后 第 3 秒末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。 解：物体下落的加速度 a
3
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习题 3-7 图 习题 3-8 图
解: J J M J m
1 ML2 mL2 3
3-8 如图所示，从质量为 M ，半径为 R 的匀质薄圆板上挖去一个半径 为 r 的圆孔，圆孔的中心位于半径的中点。求此时圆板对于原板中心且与板 面垂直的轴线的转动惯量。 解：可以把带孔的圆板看成均匀的完整圆板减去一个跟圆孔大小一致的 圆板，即 J J圆板 J 孔板
习题 3-9 图 4
习题 3-10 图
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解： （1） J x J 左x J 右x , 其中 J 右x 0
l
m my 2 dy y ， dJ 左x dmy 2 y 2 dl ， cos 30 l l cos 30
l cos 30
J 左x
t

90 40 25 (rad / s 2 ) 13.1(rad / s 2 ) 12 6
匀变速转动
（ 2）
2 2 12 780 (rad ) 2
n
390 (圈) 2
3-2 一飞轮的转动惯量为 J , 在 t 0 时角速度为 0 ，此后飞轮经历制动 过程。阻力矩 M 的大小与角速度 的平方成正比，比例系数 K 0 。求： （1）当 0 3 时, 飞轮的角加速度； （ 2）从开始制动到 0 3 所需 要的时间。 解： （1）依题意 M J K 2
l sin 30
J左
0
mx 2 dx 1 5 ml 2 ，所以 J y J 左y J 右y ml 2 l sin 30 12 12
1 2 1 2 2 2 ml ml ml 3 3 3 1 2 5 2 或 J z J x J y ml ml 2 ml 2 4 12 3
解:
m1 g T1 m1a T m g m a k 2 2 2 T r T r J 2 1 1 2 J mr 2 a r
得 a
2(m1 g k m2 g ) 2m1 2m2 m
2(1 k )m1m2 g mm1 g 2m1 2m2 m
2h 0.2(m / s 2 ) 2 t
又 at a R ，得圆盘的角加速度
0.2(rad / s 2 )
第 3 秒末，圆盘的角速度 t 0.6(rad / s ) 所以 at 0.2(m / s ) an R 0.36(m / s )
2 2 2
(3) J z 3-10 如图所示， 在边长为 a 的正六边形的六个顶点上各固定一个质量为
m 的质点，设这正六边形放在 Oxy 平面内，求： （1）对 Ox 轴、Oy 轴、Oz
轴的转动惯量； （2）对过中心 C 且平行于 Oy 的 Oy 轴的转动惯量。 解： （1） J x 2 0 4 m(
B Bt
因为轮和皮带之间没有滑动，所以 A、 B 两轮边缘的线速度相同，即
A RA B RB
又 A
R 2 600 20 (rad / s) 联立得 t A A 10( s ) B RB 60
2 300 A 10 (rad / s) A A (rad / s 2 ) 60 t 6
习题 3-3 图
习题 3-6 图
解：方法一：设过环心且垂直于圆环所在平面的轴线为 z 轴，过环心的 两条互相垂直的直径分别为 x 轴和 y 轴， 根据垂直轴定理 J z J x J y 由对称性可知 J x J y ，又 J z mR2 得
J Jx Jy
1 mR 2 2 m 2R
•
T1 m1 ( g a )
7
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T2 k m2 g m2 a
2(1 k )m1m2 g k mm2 g 2m1 2m2 m
3-14 如图所示的飞轮制动装置，飞轮质量 m ＝600kg，半径 R ＝0.25m， 绕其水平中心轴 O 转动，转速为 900rev/min。闸杆尺寸如图示，闸瓦与飞轮 间的摩擦系数 0.40 ，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算，现在闸杆的 一端加一竖直方向的制动力 F 100N ，问飞轮将在多长时间内停止转动? 在这段时间内飞轮转了几转？
t
0 0


30 R 4g
3-12 如图所示，斜面倾角为 ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为 r 、 转动惯量为 J 、 受到的驱动力矩 M ， 通过绳索牵引斜面上质量为 m 的物体， 物体与斜面间摩擦系数为 ，求重物上滑的加速度。绳与斜面平行，不计 绳质量。
6
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0 3
0
2 K0 K 2 (rad / s 2 ) J 9J
（2）由
d K 2 得 dt J
dt
0
t

J 如图所示， 发电机的轮 A 由蒸汽机的轮 B 通过皮带带动。两轮半
2 径 R A =30cm， R B 75cm。当蒸汽机开动后，其角加速度 B 0.8π rad/s ，
习题 3-13 图 习题 3-12 图
M Tr J 解： T mg cos mg sin ma a r
得 a
( M umg cos mg sin )r J mr 2
3-13 如图所示，两物体质量分别为 m1 和 m 2 ，定滑轮的质量为 m 、半 径为 r ， 可视作均匀圆盘。 已知 m 2 与桌面间的滑动摩擦系数为 k ， 求 m1 下 落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动， 滑 轮轴受的摩擦力忽略不计。
方法二： dm dl Rd ，其中
dJ dmR sin R 3 sin 2 d
2
J R 3 sin 2 d R 3
0
2
1 mR 2 2
3-7
如图所示， 长为 2 L 的匀质细棒， 质量为 M ， 未端固定一质量为 m
的质点，当它绕过棒中点的水平轴转动时，求转动惯量 J 。
J圆板
r 2 1 1 2 R 2 2 MR ， J 孔板 mr m( ) ，其中 m 2 M 2 2 R 2
1 1 r4 1 MR 2 M 2 Mr 2 2 2 R 4
得J
3-9 如图所示，把两根质量均为 m ，长为 l 的匀质细棒一端焊接相连， 其夹角 120 ， 取连接处为坐标原点， 两个细棒所在的平面为 Oxy 平面， 求此结构分别对 Ox 轴、 Oy 轴、 Oz 轴的转动惯量。

t
0
dt
0
0
J0 Jd ， 即 NRt NR
2
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又 0
2 900 1 d 30 (rad / s) ， J m 0.4(kg m 2 ) 60 2 2