【正解】
①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－
1N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}. ②集合表示中的符号“{
x＋y＝3 x－y＝－1
}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号
“R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R.
【解析】
(1)比4大2的数显然是6，故可表示为{6}.
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为
(x－2)2＋(y＋3)2＝0 ∴
x＝2 y＝－3
，∴方程的解集为{(2，－3)}.
(3)由x－2>3，得x>5. 故不等式的解集为{x|x>5}. (4)“二次函数y＝x2－1的图象上的点”用描述法表示为 {(x，y)|y＝x2－1}.
x＝0 y＝3 x＝2 x＝1 或 或 y＝1 y＝2
x＝3 或 y＝0
所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}； (4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}.
下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；
易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运
用.
1.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1){a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个不同的集合； (2)集合 中有5个元素；
(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；
(4)集合A＝{(1，－3)}与B＝{(－3,1)}是同一集合.
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典型例题分析
用描述法写出集合如能化简并化简为列举法的形式
4.由数字1，3，6中抽出一部分或全部数字 （没有重复）所排成的一切自然数。
答：{由数字1，3，6中抽出一部分或全部数 字（没有重复）所排成的自然数} ={1，3，6，13，31，16，61，36，63， 136，361，613，316，163，631}。
)
集合A表示不等式3－3x>0的解集.显然3,1不满足不等式，而0，
－1满足不等式，故选C.
【答案】 C . 由互异性知a2≠1，即a≠±1，
3.已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是 【解析】
故实数a不能取的值的集合是{1，－1}. 【答案】 {1，－1}
4.以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有多少个元
14.属于符号：∈ 如-1 ∈A、1 ∈A、34 ∈A
15.不属于符号：
如2 A、1.5 A
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3.常用数集及表示符号
名称
非负整数集 (自然数集) N
正整数集
整数集
有理数 实数 集 Q 集 R
符号
N*或N＋
Z
4.集合的表示方法
列举法
描述法
把集合中的元素 一一列举 出来写在大括号内表示 集合的方法 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的
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11.集合的字母表示：通常用大写的拉丁字母A、 B、C、D、„表示集合。
如A={-1，1，0，34}、B={斜三角形}。 12.元素的字母表示：通常用小写的拉丁字母a、 b、c、d、„表示元素。 13.空集的符号表示：∅或{ }。特别注意的是 { ∅}不是空集，而是一个单元素集合。
③方程组
的解是有序实数对，
而集合{x＝1，y＝2}表示两个方程的解集， x＝1 正确的表示应为{(1,2)}或 (x，y) y＝2 【答案】 D
.
2.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( A.3∈A C.0∈A 【解析】 B.1∈A D.－1 ∈ A
不能构成集合.
2.“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法
是否正确？
【提示】 在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4，并且都是确
定的不同对象.因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.
集合中元素的特性
已知集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，求实数a的值. 【思路点拨】 检验得x值 如果令a2=1，0或a 解方程求a
素？ 【解析】 ∵方程x2－2x－3＝0的解是
x1＝－1，x2＝3，
方程x2－x－2＝0的解是 x3＝－1，x4＝2， ∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，共有3个元素.
3.用适当的方法表示下列集合
(1)二元二次方程组
y＝x 2 y＝x
的集合；
(2)大于4的全体奇数组成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； (4)一次函数y＝2x＋1图象上所有点组成的集合. 【解析】 (1)列举法：{(0,0)，(1,1)}； (2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}； (3)列举法：因为x∈N，y∈N，x＋y＝3， 所以
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重难点讲解
23.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出 来，写在大括号内表示集合的方法。 24.描述法有两种表述形式： 格式：{元素代表|元素属性1，元素属性2，„} ①数式形式 如由不等式x-3＞2的所有解组 成的集合，可表示为 {x│x-3＞2}；由直线 y=x+1上所有的点的坐标组成的集合，可表示为 {（x，y）│ y=x+1 }。 ②语言形式 如由所有直角三角形组成的集 合，可表示为{直角三角形}；由所有小于6的正 整数组成的集合，可表示为 {小于6的正整数}
x＋y＝3 ③方程组 的解集为{x＝1，y＝2}. x － y ＝－ 1

其中正确的有(
A.3个 C.1个
)
B.2个 D.0个
【错解】
【错因】
A
对于描述法表示集合，一应清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所
有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表 元素是什么.
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典型例题分析
下面集合里的元素是什么？
1.{大于3小于11的偶数}（描述法） 答案：2、4、6、8、10。用列举法可以表示 为{2，4，6，8，10}。 2.{平方后等于1的数}（描述法） 答案：-1、1。用列举法表示{1，-1}。 3.{中国古代的四大发明}（描述法） 答案：活字印刷、造纸、指南针、火药。用 列举法可以表示为{活字印刷，造纸，指南 针，火药}。
【解析】
D.4
∵π是实数，是无理数，
∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数；
|－4|是正整数，∴③④错误.
【答案】 B
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 (1)比4大2的数； (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)不等式x－2>3的解的集合； (4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合. 【思路点拨】 限个. 解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无
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2.对集合中元素三个特性的认识 (1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的.即一个集合一旦 确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要
么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合， 它的任何两个元素都是不同的.如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不 能记为{1,1}.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中 的未知元素. (3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a， c}是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系. 【注意】 集合中元素的互异性在解题中经常用到.如已知两个集合的关
1 1 1， ， ，0.71 2 4
，含有4个元素.
(4)不正确.A＝{(1，－3)}表示的是由点(1，－3)组成的单元素点集，B＝{( －3,1)}表示的是由点(－3,1)组成的单元素点集，而(1，－3)和(－3,1)是不
同
的两个点，因此A与B是不同的集合.
元素与集合的关系
方法
重难点讲解
21.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写 在大括号内表示集合的方法。 22.列举法有三种形式： ①是有限集而元素个数较少，如由0、2、-3、 5组成的集合可表示为{0，2，-3，5}； ②是有限集但元素个数较多，如由从50到100 的所有整数组成的集合可表示为{50，51，52， 53，„，98，99，100}； ③是无限集且元素离散，如由所有的正偶数 组成的集合可表示为{2，4，6，8，„„}
人教版高一数学上学期
第一章第1.1节
集合
主讲：合：由一些确定的、互异的对象构成的 一个整体就叫做集合。简称集。
2.元素：集合里的各个对象叫做这个集合的 元素。 3.元素的三个属性：确定性、互异性、无序 性（任意性也是元素具有的一个性质，但一 般讲以上的三个属性）.
【解析】 (1)不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求 顺 序，只要是相同几个元素即可，故{a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个相 同 的集合. (2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的，而 1 ＝0.50，因此，此种表 示不能构成集合.要想表示集合，应写作
2
(3)正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集.
判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对 象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某
个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.
2.所给下列关系正确的个数是( ①π∈R；② 3 Q；③0∈N＋；④|－4| N＋. A.1 B.2
)