关注学生认知起点有效构建认知结构
以“圆（第1课时）”的教学为例
【摘要】数学课堂教什么，怎么教？教学的起点在哪？这是每位教师必须面对又不可回避的问题．数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，向学生提供充分从事数学活动的机会，让学生从认知起点出发明晰数学知识的来龙去脉，同时让他们体验数学的再创造过程，从而自我建构数学知识，形成数学思想方法．而教师是这一活动的组织者和引领者．所以教师应积极发挥主导作用，尊重学生的认知主体，遵循认知规律，把发现的权利还给学生，把赞赏和鼓励留给学生．【关键词】关注；认知起点；构建；认知结构
《数学课程标准》指出：“有意义的学习必须建立在学生主观愿望和知识经验的基础上，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式．”最近，笔者受四川省广汉市教育局的邀请，参加“江苏省南通市名师教学风采展示暨广汉市教师专业成长培训”活动，有幸执教《圆》这一章的起始课．本课是在小学里对圆的形象认识的基础上，通过观察、抽象、概括得到的，它是学习圆的后继知识的基础．学好本课内容，对于今后的学习至关重要．同时，圆的集合定义的得出过程，对今后的数学学习也具有方法论的意义．现就本节课的教学设计、生成过程及反思感触整理出来与各位同仁交流．
1.再现教学过程
1.1 铺垫
通过多媒体呈现一组“圆”的图片，得出从本节课开始所研究的主要问题是“圆”．（揭示本节课课题）
师：请一位同学到黑板上来画一个圆，其他同学注意观察他画圆的动作细节．
（生1画圆时，由于圆规固定的一只脚动了一下，后自己重新找到圆心，完整地画出圆．）
生2：我们注意到生1画圆时，圆规的一只脚动了一下，后又重新找到圆心，正确地画出了圆．师：他为什么要努力地找到原来的圆心？
生2：一个圆不可能有两个圆心．
生1：圆心是确定圆的位置的，如果圆心移动了，“圆”的位置也就改变了．
师：生1在画圆的过程中，圆规两脚张开的大小有无变化？
生3：没有．
师追问：若要在操场上画一个半径为10 m的圆，你准备怎么办？
生3：也用圆规画．（众生笑）
生4：没有这么大的圆规，就是有，你也没办法画．我认为可以取一段10m长的绳子，一端固定，将绳子的另一端绕着固定端旋转一周就可以了．
生5：取一根10 m长的竹竿（木棒），将一端固定，竹竿（木棒）绕固定端旋转一周，另一端随之旋转就能画出这个圆了．
师：你觉得圆是怎么形成的？
（动画演示圆的形成过程，如图1，学生归纳得出圆的发生定义．）
（反思：由于学生对圆这个图形并不陌生，早在小学高年级阶段就已经有“圆心”、“半径”等概念，知道“圆心到圆周上任意点的距离都相等”．这些知识是学习本节课的基础，也是新知识的生长点．因此，在引出圆的发生定义时，通过学生画圆和多媒体辅助，演示圆的形成过程，让学生自主发现“变”与“不变”的辩证关系，鼓励学生用自己的语言去叙述画圆的过程，最后获得圆的发生定义，并适时给出圆的表示法．同时引导学生注意三个要点：①圆是一个平面图形；②圆是指圆周而不是圆面；③圆心定位置，半径定大小．这三个要点为学习圆的集合定义作好铺垫，有利于中小学知识的衔接．但衔接不是停滞，而是为了发展．）
1.2 联想
通过对第十三章和第十四章中有关概念的描述，揭示其中所蕴含的集合思想．通过类比，引出本节的“主问题”——如何用集合的语言给圆下定义？
师：在第十三章中我们学习了角的平分线，角平分线上的点有什么共同的特征？
生6：角平分线上的点“到这个角两边的距离相等”．
生6补充：角平分线上的点都具有这一性质．（无杂点）
师：反过来，“到一个角两边的距离相等”的点的位置有什么共同特征？
生7：全部都在这个角的平分线上．（无遗漏）</P>
师：如何用集合的观点给角的平分线下定义？
生8：角的平分线是“到角的两边距离相等”的所有点的集合．</P>
（反思：复习回顾角的平分线、线段的垂直平分线的有关知识，体现了学生认知结构是一个动态的扩展、生长过程，它离不开原有的基础．）</P>
1.3概括
在此基础上，进一步引导学生观察、分析：圆上各点有何共同特征？满足这个条件的点都在圆上吗？
（反思：通过前面的联想、类比，进而得到圆的集合定义．这种由学生在原有的基础上提炼、概括得到的概念是深刻的、牢固的，而且数学语言又是确定的、严密的、简洁的，符合学生的认知规律．）1．4反思：
对于“圆上各点到定点的距离都等于定长．”即“无杂点”，给出反例图2；
对于“到定点的距离等于定长的点都在这个圆上．”即“无遗漏”，启发学生得到反例图3．（反思：反例的给出，进一步深化了对圆的集合定义的理解，揭示了圆的本质特征．但反例的出现不宜过早，它的任务是加深理解，而不是冲淡和干扰．）
1.5应用：车轮为何做成圆形的？如果车轮是方形或三角形又会怎样？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路面上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这是车轮都做成圆形的数学道理．
（反思：通过运用所学知识解决现实生活中的具体问题，领悟“一中同长”的准确性与简洁性．同时抓住有利时机，渗透数学文化，并进行爱国主义教育．）
1.6探究
带着下列问题合作交流：
（1）什么是弦？一个圆可画出多少条弦？这些弦的长度有范围吗？你能画出一条最长的弦吗？它与其它的弦有何不同？（2）弦与弧的概念有何区别？优弧、劣弧如何区分？如何表示？（3）什么是等圆、等弧？等弧一定要在同圆或等圆中吗？
（反思：将与圆有关的概念编组探究，进行比较，这样可以突出相近概念的区别．再配以适当的练习，从正向与逆向、从数与形两方面深化对圆的有关概念的理解）
1.7迁移：
例：圆内一点到圆上点的最小距离是2cm，最大距离是7 cm，求该圆的半径．
变题：圆外一点到圆上点的最小距离是2 cm，最大距离是7 cm，求该圆的半径
师：本题还可以如何改编？
生9：平面一点到圆上点的最小距离是2 cm，最大距离是7 cm，求该圆的半径．
生10：平面一点到圆上点的最小距离是2 cm，最大距离是7 cm，该点可能有哪几种位置
（反思：为了进一步理解圆的集合定义，引导学生初步发现位置关系和数量关系是相互对应的，例题的呈现作为圆的集合定义的迁移来处理．同时变题和编题的过程有利于增强学生思维的灵活性，让思维情境的变换，引发学生的思维冲突，从而促进思维品质的优化．）
2.感触
“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，向学生提供充分从事数学活动的机会．”这里一是指在教学中应注意在从具体到抽象的学习过程中，让学生对数学知识的来龙去脉有着清晰的认识，而非横空出世；二是指在教师的合理引导下发挥学生主观能动性，体验数学的再创造过程，从而自我建构数学知识，形成数学思想方法的活动．前者重在教师的主导作用，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在已有的生活经验基础上逐渐由具体到抽象；后者主要指学生在数学学习过程中通过反思逐步积累数学的知识与方法，并能用数学的方法认识和解决实际问题．因此，前者是后者的基础，后者是前者的提升．
对问题的“铺垫—联想—概括—反例—应用—迁移”是符合学生的认知规律的．本课设计的出发点和教学实施的立足点旨在加强圆的集合观点定义的发现过程．“探索是数学教学的生命线”，在探索过程中，学生应是认识活动的主体，而教师是这一活动的组织者和引领者．通过探索，有利于教师发挥主导作用．把发现的权利还给学生，把赞赏和鼓励留给学生．
教学中围绕圆的集合定义这个中心，在铺垫、联想、概括、反例、应用、探究、迁移等环节中，力求贯穿认知理论．圆的集合定义是严谨的，是用现代的数学语言给出的，但缺少动感．为此用发生定义作为它的铺垫（用线段的长在旋转中不变，为“圆上的点到定点的距离都等于定长”作铺垫；用线段旋转一周，为“到定点的距离等于定长的点都在圆上”作铺垫）从而把圆的发生定义与集合定义之间的联系揭示出来，体现了知识内部相容同构的观点．
为了让学生自己得出圆的集合定义，采用了联想“角的平分线”、“线段的垂直平分线”的有关定理，进而概括出它们集合定义的方法，既为学生的抽象概括作了准备，也让认知结构的生长赖以坚实的基础，从而顺利地完成学生的意义建构过程．
反例的得出，既直观形象，又有助于从正、反两方面深入理解定义，也让认知结构有明晰的边界，构造反例也是一种建构．
对于圆内、外点的问题，要到第二单元中研究与圆有关的位置关系才呈现，本课是作为圆的集合定义的迁移来处理的，即让点从“圆内”变动到
“圆外”，进而“已知点在平面内”，对点与圆的位置关系进行分类讨论．这既有利于举一反三能力的培养，也让学生的认知结构得到拓展与延伸．
总之，适当地运用教学理论来指导数学教学，不但使一节课脉络分明，理论基础更坚实，而且让我们懂得应该教什么、怎样教、为什么要这样教，使学习教育理论成为自觉的行为．教学过程是在教师指导下的学习者的自主探索过程，在这一过程中如何让学生的主体地位与教师的主导作用有机结合起来，这是值得深究的课题，是否得当、得体、得法，尚有待同行的共同研讨与实践．。