含未知输入的奇异(广义)线性系统的能观测性摘要本文解决了含未知输入的一般类奇异线性系统的较强的能观性和能测性。

解决了当矩阵束是非正则的情况（即，微分方程有多个解的情况）。

结果表明，在合适的假设下，原来的问题可以通过含未知输入的常规（非奇异）的线性系统和代数约束的方法进行研究。

因此，可以表明，为了达到分析的目的，代数方程组可作为扩展系统输出的一部分。

基于这种分析，我们根据系统矩阵零点得到保证系统能观测性（或探测）的充分必要条件。

为测试系统的能观测性给出了相应的代数条件。

我们提供一个公式来表达输出函数具有高次导数的状态，它允许实际状态向量的重建。

这表明未知输入也可以重建。

关键词奇异系统强能测性强能观性代数能观性1 简介对于部分被未知输入（UI）驱动的多变量线性系统观测器设计的问题已被广泛研究（Darouach ，Zasadzinski ，与徐，1994;弗罗奎兹＆巴尔博特，2004;弗罗奎兹，爱德华兹，与司布真，2007;关与赛义夫，1992）。

这些观测器对系统受到干扰或无法输入，或当遇到故障诊断问题具有重要的用途。

能观测性和观测器的设计问题在广义系统完全已知的模型上已被广泛研究。

1981年在Yip和Sincovec对这个问题的可解性，可控性和可观性已经进行了研究。

在那里，可观性分析已经解决并发现了其代数特性。

通过使用分布式架构，1984年在科布能控性和能观性之间的对偶代数关系被证明。

1992年在Paraskevopoulos和Koumboulis发现了设计一类龙伯格状态观测器所需的充分必要条件。

在之前的提到的三项发现中，系统需要有一个正则矩阵束，即有一个特殊的状态解决方法。

在没有特殊假设的正则系统中偶尔的可观性既不允许使用在输入的衍生工具，也不允许使用在输出的衍生工具，这种能观性(1999a)在Hou and Müller 已经研究了。

同一作者(1999b)在Hou and Müller提出了观测器的设计。

它表明在这项工作中通过允许参与观测器（称为它有一个广义观测）的输入和输出的衍生物，可探测性是满足观测误差的收敛性的。

（1995）在Darouach和Boutayeb设计了降阶观测器。

2008年在Darouach和Boutat - Baddas，提出了非线性奇异系统的观测器。

尽管有大量文献都关于综合奇异系统的可观测性分析，但当包含未知输入系统时成果却很少。

（1992）年在Paraskevopoulos ，Koumboulis ，Tzierakis和Panagiotakis ，针对包含未知输入的奇异线性系统的观测器设计问题被考虑到，并且给出了设计一个Luenberger般的观测器的充分必要条件。

（1996）年在Darouach ，Zasadzinski和Hayar ，提出了降维观测器。

在某些规律性的条件下，(1999)年在Chu and Mehrmann观测器的设计被研究过。

其间，（2005）年在科尼格提出了成比例的多重积分的观测器。

用图论的方法，在Boukhobza 和Hamelin（2007年）发现了可观性条件。

在这篇文章中，针对含未知输入的一般类奇异线性系统的可观测性问题进行了研究。

该系统不要求有正规矩阵束。

我们得到了较强可观测性和可探测性的充分必要条件。

我们表明，该状态的重建可以通过公式实现，这个公式表达了输出函数具有高次导数的实际状态。

4.1讨论了有限时间重建（可观察性）。

4.2给出了缓慢重构（可测性）的过程。

在4.3汇总了所有的估计算法。

要加强理论成果，我们在第5节提出了模拟的例子。

下面的符号将被用于整篇文章。

对于一个矩阵X ，我们用一个行满秩矩阵X 表示，使得X ⊥X=0，并且由行满秩矩阵X ⊥⊥使得秩X ⊥⊥X=秩X （则矩阵()()T T T X X ⊥⊥⊥⎡⎤⎢⎥⎣⎦是非奇异的）。

X 的M —P 广逆矩阵记为X +。

X 的秩记为ρχ。

我们通过⋅表示欧几里德范数。

C -表示严格负实部的复数集合。

Ir 是用r 维的单位矩阵。

0r ×s 是由sxr 的零矩阵。

()()00lim t x x t ++→=用来限制以上的状态。

2 系统描述和问题公式化让我们考虑一下SLSUI 由以下方程，这里X(t)n R ∈是系统状态向量，y(t)p R ∈是系统输出，u(t)是未知输入向量。

矩阵E,A n n R ⨯∈,D n m R ⨯∈,C p n R ⨯∈,F p m R ⨯∈都是恒量。

矩阵E 是假定是奇异的。

给定X(t)n R ∈的状态，函数u(t)。

我们通过来定义t 时刻系统∑的初始状态o x 和系统输入向量u 。

由此,我们以一个简单的方式定义输出。

我们感兴趣的是能表示输出信息的状态向量x(t)的轨迹重建。

系统∑没有定义一个常规的矩阵束，也就是对于所有的都有，那么就有多解。

然而，μ（T ）必须这样使得x （t ）是分段连续对所有的t> 0，但可能发生在t=0的冲动。

为了给代数条件允许x 的重建（T ），我们认为下面的定义，它是基于经典的定义为线性时不变系统（见，例如Trentelman ，Stoorvogel 和Hautus （2001））。

定义1（强能观性） 如果系统对任何和输入函数u 都满足(2)我们就称系统具有强能观性。

定义2（强能测性） 如果系统对任何和输入函数u 都满足(3)我们就称系统具有强能测性。

很显然，强大的可观察性是重构状态x （t ）整个轨迹的一个必要条件。

事实上，让我们假设Σ是不是强可观察的，那么就意味着有存在，使得而表达式成立，然后，因为我们假设x （t ）是分段连续的，那么和在开区间，然而，既产生系统输出恒等于零。

由此，它就不可能重构整个状态的轨迹。

下面将要证明，因此是一个必要的结构和充分条件，重构以x（t）的有限时间。

类似地，它将被显示，SD是x渐近重建的一个充分必要条件。

3.能观性分析由于E是奇异的，存在非奇异矩阵和使E可如下转化因此，我们定义矢量，这里，。

在这些新的定义下Σ可以重写如下鉴于（4），Ψ采用下列形式其中和矩阵源于S的下列分区，其中，。

类似地，矩阵和来从分区，其中，。

很显然，Σ是SO（SD），当且仅当，Ψ为SO（SD）。

下面我们将看到，一个简单的的方式来研究Ψ的可观性，并推而广Σ的，是经考虑（6B）作为一种新系统输出的一部分系统，并考虑Z2作为未知输入的载体的一部分。

事实上，让我们由下面的等式来定义系统Φ。

其中，，，矩阵定义如下：很显然由（6）表示Φ看起来像系统Ψ。

在一般情况下，它们做并不代表相同的系统。

但是，这两个系统是相同的，如果这两个恒等式成立：和。

在接下来的定理，它被要求Σ的SO（相应的SD）的实现相当于达成Φ的SO（相应SD）（需要重建条件Z1）加上秩条件（要求Z2重建）。

定理1 系统Σ是SO（SD），当且仅当Φ是SO（SD）和下面的秩条件成立此外，这种等价是独立的T和S的选择。

证明。

首先，请注意，由于，（9）成立相当于说，当且仅当，则。

必要性：设Σ为SO（SD）。

让我们假设，对于一个输入V和状态Z1，的情况下，当Z2（t）和μ（t）的满足条件，我们得到Ψ和Φ表示相同的系统。

因此，限定我们的结论是对于所有都有。

现在，由于，通过假设（2）（（3））当有（X（t）收敛到零），这表明，（Z （t）的收敛到零）。

特别是，即Φ为SO。

现在，假设（9）不成立。

然后，存在一个向量V，它可以被划分为，这样，。

通过选择，，。

对所有t>0满足（6）式和y（T）=0。

因此，，也就是说，在这种情况下Σ并非如此（相应Σ不是SD）。

充分性：首先，让我们注意到对某些及v有，意味着。

事实上，让我们假设的一个状态和一个输入函数μ。

然后，该函数满足（6）式，具体的代数满足在（6B）的约束。

因此，我们的结论是，对于所有的t> 0时，对于系统Φ，用v作为扩展向量由Z2和μ组成。

此外，它是已知的，从线性系统理论，即一个输入为v（t）的零位调整的输出必须有，其中特殊矩阵，一个矩阵L，使得，以及函数w（t）。

因此，假设Φ是SO（SD）中，t> 0时，，意味着，对于所有的t>0，有，即（Z1（t）的收敛于零），并且（）。

以前面的条件，假设（9）为真，意味着，。

因此，在这种情况下，，所有。

因此，我们的结论即Σ是SO（相应SD）。

证明T和S的独立性很简单，因为我们已经证明定理1对任意T和S满足（4）。

至于Σ，我们可以预期，SO和SD可以完全特点五元组（E，A，C，D，F）。

事实上，令R（s）为Σ的所谓的系统矩阵，即,我们说，是Σ的零点如果。

设被定义为一组Σ的零点。

我们来证明SO和表明Σ的零点条件。

推论2 系统Σ是SO（SD），当且仅当（）。

证明：我们定义，这是Φ的系统矩阵。

在图（4）和（8），我们得到4.代数能观性正如我们所预料的SO与代数恰逢可观性（AO）：我们说，Σ是AO如果x可以表示为一个代数y的函数及其导数的有限数量（见，例如迪奥普和佛里斯（1991））。

让谷（K≥1）是由所获得的矩阵下面的递归算法（参见，莫利纳利（1976）），让我们用L表示，最小的整数，。

为我们的目的，我们指出，Φ是SO，当且仅当，对于SD的情况下，我们必须努力多一点与系统Φ。

的确，我们假设。

设V是一个列满秩矩阵，使得。

存在一对矩阵Q和K这样，从（12），很显然，。

我们可以定义一个非奇异矩阵P，，其中和是V和M的M-p广义逆，，。

通过定义向量和。

我们得到。

系统Φ在这些新的坐标可以被改写如下：其中，因此，当用于SD，它是已知的系统Φ为SD，当且仅当和是Hurwitz 矩阵。

我们回到系统Φ，定义，让我们推导出矢量ξ，让我们定义一个新的向量ξ2如下，因此，考虑到（7），（15），及（11），我们有，其中，。

在（17）的第一定义，我们采取的微分算子外从（16）和利用ξ1的定义。

因此，我们可以遵循迭代过程以获得方程的下面的一组，对于当k≥1，其中的由（11），定义由下面的定义递归算法，对于k≥1，因而是由一个函数的高阶导数表示Y（t）的。

以这样的方式实时微分器可以使用,在黎凡特（2003）和Mboup，join，和Fliess（2009）中可以发现由于其有限时间收敛使得其中两个经常被使用。

例如，如果，那么Z1是代数可观的，即它可以通过使用一个实时微分器进行重构。

为了匹配系统Σ与系统Φ，从现在开始，我们定义,，然后在图（6），方程（5）和（7）是相同的。

下面，我们考虑两种情况：当Σ是SO当它是标清，但并非如此。

当然，由于Φ是标准的线性系统中，可能有其他的方法，除了提出一个下面，这可能是用于进行代数重建的状态。

4.1有限时间的重建我们认为，系统Σ是SO的。

然后，重建整个状态向量x（t）的可以在有限的时间内实现：借助于一个代数公式。