中考数学最值问题总结考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”，“点关于线对称”,“线段的平移”。

(2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型:饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型:条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P,使PA PB+的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于点P,则PA PB A B'+=的值最小例1、如图,四边形ＡBCD是正方形,△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、ＡM、CＭ.（1)求证:△ＡMB≌△ENB;（2)①当M点在何处时,ＡM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小,并说明理由;(3）当ＡM+BM+CＭ的最小值为时,求正方形的边长。

ABA'′Pl例2、如图13,抛物线y＝ax2+bx＋ｃ(a≠0)的顶点为（1,4)，交x轴于A、B，交y轴于D,其中B点的坐标为（3,０)(１）求抛物线的解析式(2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点Ｅ,交y轴于点Ｆ,其中Ｅ点的横坐标为２,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为ＰQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使Ｄ、G、Ｆ、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、Ｈ的坐标;若不存在，请说明理由.（３)如图１5,抛物线上是否存在一点Ｔ，过点T作ｘ的垂线，垂足为M,过点M作直线M N ∥BD，交线段AD于点N，连接MD,使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在,说明理由.例３、如图1,四边形AＥＦＧ与AＢＣD都是正方形,它们的边长分别为a，b(ｂ≥２ａ),且点F在AD上(以下问题的结果可用a,ｂ表示）（1)求S△DBF；(2) 把正方形ＡＥFＧ绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBＦ;(３) 把正方形ＡEFG绕点Ａ旋转任意角度,在旋转过程中，S△ＤBＦ是否存在最大值，最小值？如果存在,试求出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由。

例４、如图,在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3-交于Ａ,B两点,点A在x轴上，点Ｂ的纵坐标为3。

点P是直线AＢ下方的抛物线上一动点（不与A,B重合）,过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作ＰＤ⊥AＢ于点Ｄ（1）求a,ｂ及sin ACP∠的值（2)设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段ＰＤ的长，并求出线段ＰD长的最大值;②连接ＰB，线段ＰC把△ＰＤB分成两个三角形，是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在,直接写出m值;若不存在，说明理由.例5、如图，⊙Ｃ的内接△ＡOB中，AＢ=AＯ=4，tａｎ∠AOＢ=34,抛物线2y ax bx=+经过点A(4,0)与点（-2,6).（1）求抛物线的函数解析式；（2)直线m与⊙C相切于点Ａ，交ｙ于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段ＤA上,从点D出发向点Ａ运动;点Ｐ的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AＤ时,求运动时间ｔ的值;（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ＲOB面积最大时，求点R的坐标.例１、证明:(１)∵△ABE 是等边三角形,∴ＢA=ＢE,∠A ＢＥ=60°．∵∠ＭBN=60°， ∴∠MB Ｎ-∠ＡBN=∠ＡB Ｅ-∠ＡBN.即∠MBA=∠N ＢE. 又∵MB=NB, ∴△AM Ｂ≌△E ＮＢ(SAS)．(5分) 解：(2)①当Ｍ点落在BD 的中点时，A 、Ｍ、Ｃ三点共线，ＡM ＋CM 的值最小．(7分） ②如图,连接ＣE,当Ｍ点位于BD 与CE 的交点处时, AM+BM+CM 的值最小．(９分）理由如下：连接ＭN,由(1)知,△AMB ≌△E ＮＢ, ∴AM=ＥＮ, ∵∠MBN=６0°，ＭB=NB, ∴△ＢＭN 是等边三角形. ∴BM=MN. ∴ＡM+ＢM ＋CM=EN+MN+ＣM ．（10分） 根据“两点之间线段最短”,得EN+M Ｎ+CM ＝EC 最短∴当Ｍ点位于BD 与CE 的交点处时,AM+BM+ＣＭ的值最小,即等于EC 的长.（1１分）例2、 解:(1)设所求抛物线的解析式为:2(1)4y a x =-+，依题意，将点Ｂ(３，０)代入,得：2(31)40a -+= 解得：a=－1∴所求抛物线的解析式为：2(1)4y x =--+(2)如图６,在ｙ轴的负半轴上取一点I,使得点Ｆ与点I 关于ｘ轴对称，在x 轴上取一点H,连接ＨF 、HI 、HG 、ＧD 、GE ，则H Ｆ＝HI …………………① 设过A 、E 两点的一次函数解析式为:ｙ＝kx+ｂ（k ≠0）,∵点Ｅ在抛物线上且点E 的横坐标为2,将x=2代入抛物线2(1)4y x =--+，得 2(21)43y =--+= ∴点Ｅ坐标为(2，3)又∵抛物线2(1)4y x =--+图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D ∴当y=0时,2(1)40x --+=，∴x=-1或x ＝3当x ＝0时,y=－1＋4＝3,∴点A(－1,0）,点Ｂ（3，0)，点Ｄ(0，3) 又∵抛物线的对称轴为:直线ｘ＝1，∴点D 与点E 关于P Ｑ对称，G Ｄ=GE …………………② 分别将点Ａ（-１,０)、点E （2,３）代入y ＝kx ＋b ，得:023k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得:11k b =⎧⎨=⎩过A 、E 两点的一次函数解析式为：y=x ＋１∴当x ＝0时，y=1 ∴点F 坐标为（0，１） ∴DF ＝２………………………………………③ 又∵点Ｆ与点I 关于x 轴对称, ∴点I 坐标为(0，－１） ∴22222425EI DE DI =+=+=又∵要使四边形D ＦHG 的周长最小，由于DF 是一个定值， ∴只要使DG+ＧH+H Ｉ最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知， DG+GH+HF ＝EG ＋GH ＋ＨI只有当E Ｉ为一条直线时,E Ｇ＋GH ＋ＨI 最小设过Ｅ（２,３)、I （0,-1)两点的函数解析式为:111(0)y k x b k =+≠，分别将点E(2,3）、点I （0，-1）代入11y k x b =+，得:111231k b b +=⎧⎨=-⎩解得：1121k b =⎧⎨=-⎩过A 、E 两点的一次函数解析式为：y=2ｘ－1 ∴当x ＝1时，y=１；当y=0时,ｘ＝12； ∴点G 坐标为（1,1),点H 坐标为(12,0) ∴四边形DF ＨG 的周长最小为：ＤＦ+DG+GH+ＨＦ=ＤF+E Ｉ 由③和④,可知： DF ＋ＥI=225+∴四边形DFHG 的周长最小为225+ （３)如图7,由题意可知，∠NM Ｄ＝∠MDB ， 要使，△DNM ∽△BMD,只要使NM MDMD BD=即可， 即:2MD NM BD =⨯………………………………⑤设点Ｍ的坐标为(a,０）,由ＭN ∥B Ｄ,可得 △AM Ｎ∽△A ＢD ， ∴NM AMBD AB=再由(１）、（2)可知,AM ＝1+a ，BD ＝32AB ＝4∴ (1)3232)44AM BD a MN a AB ⨯+⨯===+∵22229MD OD OM a =+=+， ∴⑤式可写成: 2329(1)324a a +=+⨯解得：32a =或3a =（不合题意,舍去） ∴点M 的坐标为（32，0）又∵点T 在抛物线2(1)4y x =--+图像上,∴当x=32时,y ＝152∴点T 的坐标为(32,152）.例3、解：（１）∵点Ｆ在AD 上,∴AF 2=a 2+a ２，即A Ｆ＝2a 。

∴DF b 2a =-。

∴2DBF 1113S DF AB b 2a b b ab 2222∆=⋅=⋅-⋅=-（）。

（２）连接DF ，AF ，由题意易知A Ｆ∥BD ， ∴四边形AFDB 是梯形。

∴△DBF 与△ABD 等高同底，即B Ｄ为两三角形的底。

由ＡＦ∥B Ｄ，得到平行线间的距离相等，即高相等， ∴2DBF ABD 1S S b 2∆∆==。

(3)正方形A ＥFG 在绕Ａ点旋转的过程中,F 点的轨迹是以点A 为圆心，ＡＦ为半径的圆。

第一种情况:当b>2a 时,存在最大值及最小值, ∵△ＢFD 的边BD=2b ,∴当F 点到BD 的距离取得最大、最小值时,S △BF Ｄ取得最大、最小值。

如图，当D Ｆ⊥BD 时，S △BF Ｄ的最大值=212b 2ab2b (b 2a)222+⋅⋅+=， S △BFD 的最小值＝212b 2ab2b (b 2a)222-⋅⋅-=。

第二种情况:当b=２ａ时,存在最大值，不存在最小值,S △BFD 的最大值=2b 2ab2+=。

例４、解:(1)由1x+1=02，得到x=－2，∴Ａ（－2,0)。

由1x+1=32,得到x ＝4，∴B （4,3)。

∵2y=ax +bx 3-经过A 、B 两点,∴4a 2b 3=016a+4b 3=3--⎧⎨-⎩，解得1a=21b=2⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩。

设直线A Ｂ与y 轴交于点E ，则Ｅ（0，１）。

∴根据勾股定理,得AE=5。

∵ＰＣ∥y 轴,∴∠ACP ＝∠AEO 。

∴OA 225sin ACP=sin AEO=AE 55∠∠==。

(2）①由(１）可知抛物线的解析式为211y=x x 322--。

由点P 的横坐标为m ，得P 211m m m 322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,C 1m m+12⎛⎫ ⎪⎝⎭，。

∴ＰC ＝221111m+1m m 3m +m+42222⎛⎫---=- ⎪⎝⎭。

在Rt △PCD 中,()22125595PD PC sin ACP=m +m+4=m 1+2555⎛⎫=⋅∠-⋅-- ⎪⎝⎭, ∵505<-，∴当m=１时,PD 有最大值955。

②存在满足条件的m 值,532m=29或。

---- 例5、解：（1)将点A （4,0)和点（－２，６)的坐标代入2=+y ax bx 中，得方程组16+4=04-2=6a b a b ⎧⎨⎩,解之,得1=2=-2a b ⎧⎪⎨⎪⎩．∴抛物线的解析式为21=-22y x x ． （２)连接ＡC 交OB 于E.∵直线m 切⊙C 于A ∴ＡC⊥m，∵ 弦 AB=A Ｏ， ∴AB AO = .∴AＣ⊥OB ,∴ｍ∥OB .∴∠ OAD=∠ＡOB ，∵OＡ=4 t ａn∠AOB＝43,∴OD=ＯA·tａｎ∠OAD＝４×43=3. 作ＯF⊥ＡＤ于Ｆ.则OF=ＯA·sin∠OAD=４×53=２.４. t 秒时，OP ＝t,DQ=2t,若PQ⊥ＡD ，则ＦQ=OP= t.DF ＝DQ-FQ= t.⊿ODF 中,t=D Ｆ=22OF OD -＝１.8秒.(3)令R(ｘ, 21ｘ2－2x) (0＜ｘ＜4).作ＲG⊥ｙ轴于G 作RH⊥OＢ于H 交y 轴于I.则RG= x,OG= 21x 2＋2x ． R ｔ⊿ＲIG 中，∵∠GＩＲ=∠ＡOB ，∴tａｎ∠GIR=43．∴IＧ=34x I Ｒ=35 x, Ｒt⊿OIＨ中,ＯI=ＩG －OG ＝34ｘ－（21ｘ2+2x)=21x 2－32ｘ．HI=54（21x 2－32x ）. 于是ＲＨ=IR-ＩH=35 x －54(21ｘ２-32 x ）=-52 x 2+1533x ＝－52 x ２+511x ＝－52( x-411）2+40121 当ｘ=411时,ＲH 最大.Ｓ⊿ROB 最大．这时21x 2－２x=21×(411)2-2×411=－3255.∴点R （411,-3255）。