利用达伦贝尔动力平衡原理建模
• 请建立如图系统的微分方程模型
Example :mass-spring-damper
cy
k ky y M Mຫໍສະໝຸດ cyf(t)
f(t)
达伦贝尔力平衡原理
d y (t ) dy M c ky (t ) f (t ) 2 dt dt
2
古斯塔夫· 罗伯特· 基尔霍夫
y 0 y
y0
df dx
f ( x)
x0
We get Δ y=kΔ x Or y=kx
A
y kx
x
x0 x0 x
非线性系统的线性化
请列出系统的微分方程并线性化。
例 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微
分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 根据牛顿第二定律可得： ml mg sin
Does not satisfy the superposition property
and
(3)
yx
2
When
x x0 x
y y0 y Equation (2) can be rewritten
as
y0 y kx0 kx b
We have
y kx
or
y kx
Linearization of Weak Nonlinear Characteristic
Linearization using Taylor series point( Equilibrium Position)
expansion about the operating
The output-input nonlinear characteristic of y=f(x) is illustrated in the following figure:
U 2 U c2
由④、⑤得
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由②导出
dU c1 dU c1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt
将i1、i2代入①、③，则得
U 1 R1 R2 i2 U c 2
dU c1 dU 2 dU 2 R1 (C1 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt
输入（已知） 黑匣子 输出（已知）
• • • • •
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模 型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。
本章讲怎样建立控制系统的数学模型 数学工具：微分方程
y1(t) f(t)
K1
y2(t)
k2 m1 m2
d2y m1 2 k1 y1 k 2 ( y1 y 2 ) f (t ) dt
d2y m2 2 k 2 ( y1 y 2 ) dt
如果不考虑m2对m1的影响，则会得到错误的结果 解方程，消除y2得
m1m2 p ( m1k2 m2k1 m1k2 ) p k1k2 ] y1 ( m2 p k2 ) f
基尔霍夫在柯尼斯堡大学读物理，1847年毕业后去柏林大学任教， 3年后去布雷斯劳作临时教授。1854年由R.W.E.本生 推荐任海德堡大学教授。 1875年到柏林大学作理论物理教授，直到逝世。
•
• 1845年，21岁时他发表了第一篇论文，提出了稳恒电路网络中电 流、电压、电阻关系的两条电路定律,即著名的基尔霍夫第一电路定律和基 尔霍夫第二电路定律，解决了电器设计中电路方面的难题。后来又研究了 电路中电的流动和分布，从而阐明了电路中两点间的电势差和静电学的电 势这两个物理量在量纲和单位上的一致。 • 1859年，基尔霍夫做了用灯焰烧灼食盐的实验。在对这一实验现 象的研究过程中，得出了关于热辐射的定律，后被称为基尔霍夫定律：基 尔霍夫根据热平衡理论导出，任何物体对电磁辐射的发射本领和吸收本领 的比值与物体特性无关，是波长和温度的普适函数，即与吸收系数成正比。 并由此判断：太阳光谱的暗线是太阳大气中元素吸收的结果。这给太阳和 恒星成分分析提供了一种重要的方法，天体物理由于应用光谱分析方法而 进入了新阶段。1862年他又进一步得出绝对黑体的概念。 • 在海德堡大学期间，他与化学家本生合作创立了光谱化学分析法。 把各种元素放在本生灯上烧灼，发出波长一定的一些明线光谱，由此可以 极灵敏地判断这种元素的存在。利用这一新方法，他发现了元素铯和铷。
Kirchhoff，Gustav Robert （1824～1887）
利用基尔霍夫定律建模
基尔霍夫电压定律：电网络闭合回路中电势的代数和等于回路中电压降的 代数和。 基尔霍夫电流定律：某节点的流出电流之和等于所有流进电流之和。
例题
解（a）题：依基尔霍夫电压定律得电路方程
1 Ri idt u i c
微分方程数学模型
广义上是指表达自然界或社会现象某些特 征本质的数学表达式，也称为数学方程。 实际上,对于任何一个确定的系统，都可以用 微分方程、差分方程、传递函数、状态方程、频率 特性等数学表达式来描述。而微分方程是最基本的。
微分方程的几个简单实例
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题， 本课程将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模 的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分 常用的数学工具之一。
dv F c(v1 v2 ) c dt
从元器件到简单系统
• 利用机械动力学基础知识，也即达伦贝尔动 力平衡原理建模（机械控制系统）。 • 利用基尔霍夫定律建模（电子控制系统）。
达伦贝尔原理
• 在物理学历史上，关于如何量度机械运动， 用动量还是动能？曾经有过长达半个多世纪 的激烈争论。1743年，达伦贝尔在《动力学 论》中指出：“力既可以表示为在单位时间 内的运动改变（即动量）；又可以表示为单 位距离内的运动改变（即动能）” ，才使之 趋于平息。这次争论的直接后果是功能概念 的形成和分析力学的建立。
4 2
p d / dt
微分算子
电路的负载效应
• 请列出方程式！
解： 设回路电流i1、i2，根据基尔霍夫定律，列写方程如下：
U 1 R1i1 U c1
U c1 1 (i1 i2 )dt C1
①
② ③ ④
⑤
U c1 R2 i2 U c 2
U c2 1 i2 dt C2
d uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
2
力-电压相似
机械 电气 电阻 R1 阻尼 B1 电阻 R2 阻尼 B2 弹性系数 弹性系数 K1 K2
1/C1
1/C2
• 机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理 系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络） • 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 • 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系 统...... • 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。
系统元件间的负载效应
负载效应—由多个元件组成的系统，若后一个元件的存在 会影响到前一个元件的输出，就认为后者给前者增加了负 载。这种现象称为负载效应。
注意：当存在负载效应时，绝不能孤立地分别列出前后两 个元件的微分方程式，而应该把前后两个元件作为一个整 体分析。
图示为由两个质量为m1、m2和弹簧k1、k2串联起来的系统 设输入量为外力f(t),输出量为位移y1(t),y2(t). 试求系统的数学模型。
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。
系统的简化 ——非线性系统的线性化
实际的物理系统严格来说都是非线性的。如果非 线性因素对系统影响很小，一般予以忽略。可将 系统视为线性系统处理。
Linear Approximations of Physical Systems
What is the linear system?
1 u 0 idt c
du 0 i dt c
du 0 c i dt
du 0 RC u0 ui dt
解（b）题，依照基尔霍夫定律得
1 idt Ri u i c
1 u 0 dt u 0 u i RC
u 0 Ri
du 0 RC u0 ui dt
解（c）题，依照基尔霍夫定律得
这是理想单摆应满足 的运动方程
从而得出两阶微分方程：
i L U
di U L dt
Differential Equations for Ideal mechanical Elements (4) Mass block
F M
v
dv F M dt
11
(5) Spring
F x1 k x2
(6) Damper
v1 F c v2
dx F k ( x2 x1 ) k dt
A linear system satisfies the properties of superposition and Homogeneity: (Principle of Superposition). 满足叠加原理的系统称为线性系统。叠加原理又可 分为可加性和齐次性。
Principle of superposition
第2章
控制系统的数学模型 ------从物理实在到数学模型
2012.9.24
数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
建立控制系统数学模型的方法