第九 章 光的电磁理论基础1. 一个平面电磁波可以表示为140,2cos[210()],02x y z z E E t E cππ==⨯-+=,求(1)该电磁波的频率、波长、振幅和原点的初相位？（２）拨的传播方向和电矢量的振动方向？（３）相应的磁场Ｂ的表达式？解：（1）平面电磁波cos[2()]zE A t cπνϕ=-+ 对应有1462,10,,3102A Hz m πνϕλ-====⨯。
（2）波传播方向沿z 轴，电矢量振动方向为y 轴。
（3）B E →→与垂直，传播方向相同，∴0By Bz ==２. 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示2150,0,10cos 10()0.65y z x zE E E t cπ===-，试求（1）光的频率和波长；（2）玻璃的折射率。
解：（1）215cos[2()]10cos[10()]0.65z zE A t t ccπνϕπ=-+=- ∴1514210510v Hz πνπν=⇒=⨯（2）8714310 1.543.910510n c c n vλν-⨯====⨯⨯⨯ 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度0.01h mm =,折射率n=1.5,若光波的波长为500nm λ=,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。
解：光程变化为 (1)0.005n h mm ∆=-=相位变化为)(20250010005.026rad πππλδ=⨯⨯=∆= 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为 1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度的大小。
假设太阳光发出波长为600nm λ=的单色光。
解：∵22012I cA ε== ∴1322()10/I A v m c ε=5. 写出平面波8100exp{[(234)1610]}E i x y z t =++-⨯的传播方向上的单位矢量0k 。
解：∵exp[()]E A i k r t ω=-6. 一束线偏振光以45度角从空气入射到玻璃的界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，试求反射系数和透射系数。
设玻璃折射率为1.5。
解：由折射定律7. 太阳光（自然光）以60度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。
解：8. 光波以入射角1θ从折射率为1n 介质入射到折射率为2n 的介质，在两介质的表面上发生反射和折射（折射角为2θ，见图10-39），s 波和p 波的振幅反射系数和投射系数分别为s r 、p r 和s t 、p t 。
若光波从2n 介质入射到1n 介质（见图10-39b ）中，入射角为2θ，折射角为1θ，s 波和p 波的反射系数和透射系数分别为's r 、'p r 和's t 、'p t 。
试利用菲涅耳公式证明（1）'s s r r =-；（2）'p p r r =-；（3）'s s s t t τ=；（4）'p p p t t τ=（p τ为p 波的透射比，s τ为s波的透射比）。
解：9.分别为1n解：10. 第一次反射时，11312,,B n n tg n θ︒==玻空n 第二次反射时，212',''90,''B n n n θθθθθ=+=︒=空B 玻，tg =n 得证。
亦可由,s p r r 求证.11. 光束垂直入射到45度直角棱镜的一个侧面，并经斜面反射后由底二个侧面射出（见图10-40），若入射光强为0I ，求从棱镜透过的出射光强I ？设棱镜的折射率为1.52，且不考虑棱镜的吸收。
1.5和1.7，求此系统的反0.01，问此系统的光能损失又为 解），管芯AB 为发光区，其直径3d mm ≈。
为了避要使发光(已知对发射的0.9nmλ=图10-39 习题8图 图10-40 习题11图的光，砷化镓的折射率为3.4) 。
解：14. 线偏振光的方位角45α=度，问线偏振光以p 波的相位差等于45度，设玻璃折射率 1.5n =。
解：15. ,线偏振光的方位角45α=度,证明当cos = 时(θ是入射角),反射光波和波的相位差有最大植。
式中21/n n n =。
证明：16. 圆柱形光纤（图10-42）其纤芯和包层的折射率分别为1n 和2n ，且1n >2n 。
（1）证明入 射光的最大孔径角2u 满足关系式sin u =2）若121.62, 1.52,n n ==求孔径角？解：17. 910HZ ν<时，硅试样具有良导体作用。
计算时电磁波对这种试样的穿透深度。
解： 18. 铝在50nm λ=时，有 1.5n =， 3.2nk =，试求正入射时的反射比和相位变化。
解：19. 两束振动方向相同的单色光波在空间某一点产生的光振动分别表示为111cos()E a t αω=-和222cos()E a t αω=-，若15210HZ ωπ=⨯，16/a v m =，28/a v m =，10a =，2/2a π=，求合振动的表示式。
解：20. 利用波的复数表达式求两个波1cos()E a kx t ω=+和2cos()E a kx t ω=--的合成波。
解：21. 一束沿z 方向传播的椭圆偏振光表00(,)cos()cos()4E z t x A kz t y A kz t πωω=-+--，试求偏振椭圆的方位角和椭圆长半轴及短半轴大小。
解：22. 有一菲涅耳棱体（见图10-21），其折射率为1.5，入射线偏振光的电矢量与入射面（即图面）成45度角，求（1）棱体的顶角α取多大时，能使从棱体射出圆偏振光？（2）若棱体的折射率为1.49，能否产生圆偏振光？图10-42 习题16图解：23. 又旋圆偏振光以50度角入射到空气-玻璃界面（玻璃折射率为1.5），试决定放射波和透射波的偏振状态。
解：入射为右旋圆偏振光，如图，可写为若设 1.5n =波，则布儒斯特角56B θ=︒，所以反射光中S 波与P 波均存在。
有 ∴'Es 比'Ep 落后2π相位，且有s p r r ≠ ∴反射光为左旋椭圆偏振光 对于透射光∵s p t t ≠ ∴投射光为右旋椭圆偏振光。
24. 确定其正交分量由下面两式表示的光波的偏振态：005(,)cos(),(,)cos[()]4x y z z E z t x A t E z t y A t c c πω=-=-+解：对于合成波有121255,0,,44a a A ααπδπ=====∴方位角122212232cos ,4a a tg a a ϕδϕπ==-∞∴=-又∵sin 2sin 2sin 1,(1tg εβδδ==⇒=略） ∵0tg ε< ∴为右旋 又设长短轴为12,A A∴211A A = （1） 且有 222122A A A += （2）∴121.71,0.29A A A A == 25.真空中沿z方向传播的两个单色光波为12cos 2(),cos[2()]()zzE a vt E a v v t ππλλλ=-=--∆+∆，若14100/,61a vmH Z Hνν==⨯∆=试求合成波在0,1z z m ==和 1.5z m =各处的强度随时间的变化关系。
若两波频率差8310HZ ν∆=⨯，试求合成波振幅变化和强度变化的空间周期。
解：令()()1212222,2,,k k ππωπνωπννλλλ==-∆==+∆则 ()111cos E a k z t ω=-则合成波强度()224cos m m I a t k z ω=-其中 ()812121022m rad ωωωπνπ-==⋅⋅∆=⋅ ∴I ∝428410cos 103t z ππ⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦0z =时 I ∝428410cos [10]3t ππ⨯-1z =时 I ∝428410cos 10t π⨯ 1.5z =时 I ∝428410cos [10]2t ππ⨯-若8310Hz ν∆=⨯ 8310m rad ωπ=⨯∴ ()()2cos cos m m E a k z t kz t ωω=-- ()()86142cos310cos 4101210a z t z z πππ=-⨯⨯-⨯ 空间周期为2m()428410cos310z t ππ=⨯-⨯ 空间周期为1m26. 试计算下列各情况的群速度：（1）ν=g 为重力加速度）；（2）ν=（浅水波，T 为表面张力，ρ为质量密度）。
解：群速度g dvv v d λλ=-（1）122g dv v v v d λλ=⇒=⇒=（2）132232g dv v v v d λ--=⇒=⇒= 27. 试求图10-43所示的周期性矩形波的傅里叶级数表达式，并绘出其频谱图。
即123422,0,,0A A A A ππ===-=…………………图略28. 求图10-44所示周期性三角波的傅里叶分析表达式，并绘出其频谱图。
解：()A k -∞=⎰31. 氪同位素度约为700mm 解：22L λλ∆==32.M1、M2是两块平行放置的玻璃片(n=1.50)，背面涂黑。
一束自然光以 角入射到M1上的A 点，反射至M2上的B 点，再出射。
试确定M2以AB 为轴旋转一周时，出射光强的变化规律。
解 由题设条件知，两镜的入射角 均为 ，且有 对于M1，有由于是自然光入射，p 、s 分量无固定相位关系，光强相等，故式中，I 0是入射自然光强；I 1是沿AB 的反射光强，反射光是垂直于图面振动的线偏振光。
对于M2，假设在绕AB 轴旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为 ，则沿AB 的入射光可以分解为p 分量和s 分量，它们之间有一定位相差，其振幅为 由于此时的入射角也为 ，所以：因此，自M2出射光的振幅为即自M2出射光的强度为： 结论：出射光强依M2相对于M1的方位变化，符合马吕斯（Malus ）定律。
ZZ-L L 0 图10-46习题30图B θθB θθ202'2cos 011.0)(I E I s ==B θ。