I
一类反应扩散方程解的长时间行为
摘 要
本文主要在一个有界光滑区域中讨论了一类带有齐次Dirichlet 边值条件的反应扩散方程解的长时间行为，其方程的形式如下：
其中
偏微分算子是一致抛物的，
，满足一定条件。
对于以上方程，我们首先定义了该方程的弱解，之后我们在有限维空间中构造了一系列该方程的近似解，并证明了在维数趋于无穷时，存在子列收敛于该方程的弱解。
最后，我们利用先验估计得到了该方程弱解的存在唯一性。
在获得方程弱解的存在唯一性后，我们便能定义伴随方程的解半群，并由此研究伴随方程解半群的全局吸引子。
为了证明解半群在
中存在全局吸引子，我们证明
了伴随方程的解半群在
与中有界吸收集的存在性，并利用Sobolev 紧嵌入定理得到了全局吸引子的存在性。
关 键 词：反应扩散方程；Galerkin 方法；全局吸引子；弱解
II ABSTRACT
In this thesis, we mainly consider the long-time behavior of solutions for the following reaction-diffusion equation with homogeneous Dirichlet boundary condition in a bounded smooth domain
:
where
The partial differential
operator is uniformly
parabolic,
and satisfies some additional assumptions.
First of all, we give the definition of weak solutions, and then, we construct a sequence of approximate solution in a n dimension subspace and show that there exists a subsequence will convergent to a weak solution of this problem when n goes to infinite. Finally, we establish the existence and uniqueness of weak solution by some aprior estimates.
With the help of the existence and the uniqueness of weak solutions, we define the solution semigroup associate with the problem and investigate the existence of a global attractor for the semigroup. To prove the existence of a global attractor, we show that there exist bounded
absorbing sets in
and
and obtain existence of a global attractor in by using the Sobolev compactness embedding theorem.
KEY WORDS: Reaction-diffusion equation; Galerkin’s method ; Global attractor; Weak solution
1
目 录
1 绪论 (2)
1.1 研究背景及意义 (2)
1.2 Galerkin 方法基本理论 (3)
1.3 全局吸引子的理论框架 (4)
1.4 反应扩散方程的相关研究 (5)
1.5 本文的工作 (7)
1.6 本文的安排 (8)
2 预备知识 (9)
2.1 基本不等式 (9)
2.2 Sobolev 空间嵌入定理 (10)
2.3 一些重要的定理 (11)
2.4 全局吸引子基本理论 (12)
3 方程弱解的存在唯一性 (14)
3.1 弱解的定义 (14)
3.2 弱解的存在唯一性证明 (14)
4 全局吸引子的存在性 (23)
4.1 解半群的定义 (23)
4.2
解半群在
中吸收集的存在性 ............................................................................ 23 4.3
解半群在中吸收集的存在性 (24)
4.4 全局吸引子的存在性 (28)
5 结论与展望 (29)
5.1 结论 (29)
5.2 展望 ............................................................................................................................. 29 参考文献 ................................................................................................ 错误！未定义书签。
1 绪论
1.1研究背景及意义
随着自然科学研究的深入，人们若要借助准确的数学表达式来展现自然科学的基本规律，便常要使用微分方程，例如Maxwell方程，Euler方程以及本文所研究的反应扩散方程等。
早在十八世纪，人们便开始使用偏微分方程来描述实际应用问题。
当时，Euler为了研究流体力学中可压缩和不可压缩流体，建立了著名的Euler方程。
而在十九世纪后，自然科学研究的现象已经具有相当的深度与广度，而许多自然科学现象的研究都会利用偏微分方程进行模拟解释，例如，反应扩散方方程可被利用于描述在无穷维条件下的反应物变化。
同时，产生于流体力学，大气科学，机械工程等方面的偏微分方程在偏微分方程发展中占有重要地位，人们研究的方程往往来源于实际现象，而得到的结果也往往用来解释实际问题。
而发展到今天，偏微分方程已经成为重要的应用数学研究领域。
但是在偏微分方程研究的起步时期，由于分析学尚未兴起，人们往往注重于建立偏微分方程，方程的求解或求近似解。
但是，由于微分方程求显示解很困难，大部分微分方程都无法得到显式解，如本文研究的非线性方程。
于是，人们便开始研究偏微分方程的解是否存在唯一，并进一步去研究解轨道随时间变化的规律。
为此，人们开创了动力系统理论，并不断在该领域进行研究与创新。
接下来，我们将简单介绍动力系统的历史。
早在十九世纪初期。
人们便开始进行动力系统的初步研究，如Cauchy对一类常微分方程初值问题解的适定性的研究。
十九世纪末，Lyapunov等人开创了常微分方程定性分析理论，即利用积分曲线性质的研究来讨论微分方程的解。
他们开创了新的研究方向，提出了常微分方程几何理论，并将其运用于对方程解的动态做定性分析。
以此为基础，他们首次提出了动力系统这一概念。
而在二十世纪初，G.D.Birkhoff与Lyapunov等人共同建立了常微分方程动力系统理论。
随后，G.D.Brikhoff出版《Dynamical Systems》，使动力系统成为了一个与微分方程紧密联系的数学分支，得到了众多学者的关注。
2。