第三章 点、直线、平面的投影
3.1
3.2 3.3 3.4 3.5
投影法
点的投影 直线的投影 平面的投影 直线与平面及两平面的相对位置
3.1 投影法及工程上常用的投影图
一 投 影 的 概 念
投影面
S 投射中心
投影
A
投射线
a
二、投影的种类 1. 中 心 投 影
投影面 a 物体 投射中心 投射线 S
B C A b
A
B B1
a
b
3.2 点的投影
2. 三 投 影 面 体 系 的 建 立
Z V
X
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ H∩W ---- OY
3.2 点的投影
二、 三 a 点A的正面投影 V 投 a 影 点A的水平投影 面 a 点A的侧面投影 体 X 系 中 点 的 空间点用大写字母表示，点 投 影 的投影用小写字母表示。 规 律 Z a A
A
C c a b B c
倾斜 平行 垂直 积聚性 实形性 类似性 平面对于三投影面的位置可分为三类：
一般位置平面
投影面垂直面
投影面平行面
1.一般位置平面 V
a'
Z
b'
b" a" c' b c c" b" a'
b' B
W
A
a"
b C c" c
X
a
投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、、 的真实角度
●
b
●
b
● ●
B
●
α
A● b
●
b
A● B●
●
A● b
a
a●
ab
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
直线平行于投影面 投影反映线段实长
直线垂直于投影面 投影重合为一点
ab=ABcosα类似性
ab=AB显实性
ab=0
积聚性
2.一般位置直线
Z
V
b B b a
b
Z
b

A b
W a
X b
b k
a a k
●
●
k ● a
b
V
b k a K A
B
b
X 因k不在a b上， 故点K不在AB上。
O
a k b
另一判断法?
例4 判断点K是否在线段AB上。 V
b k a K A
B
X
O
a k b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 b d １、平行两直线 V d
O
a
a W
Y
3.2 点的投影
1.
a a 三 az 投 A a 影 面 X ax ax 体 系 a ay 中 点 a H 的 投 1. aa X轴，aaz = aay = XA 影 2. aaZ轴， aax =aa y = ZA 规 3. aax = aaz =YA
V
Z az a
b c
B D
a
c
a
X
C
o
b a c d
X
A
O
c d
b
a
1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。 反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也 一定相互平行。
２、相交两直线
交点是两直线的共有点
d k b
V
a k
C
d b
B X K D
a
c
c b k d
b
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a b Z
ab
X
O
YW
a
b
YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点 2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
二、属于直线的点 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名 投影上(从属性),并将线 段的同名投影分割成与 空间相同的比例。即：
H
a
YH
3.特殊点的投影
Z
V Z V
Bb a Cc c Aa
O
b a
b c c c O a
W
W a
X
X
b
b a
H
Yw
Y
YH
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两a 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
b a b
判断方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 A点在B点之前、 之右、之上。
O
X
A
O
b a
c a k
d
当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交， 且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
⒊ 两直线交叉
1(2 ) 3
●
d
a c c a
●
●
4
b
两直线相交吗？ 为什么？ 投影特性：
●
2
●
b d
1 3(4 )
●
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮 助判断两直线的空间位置。
b
n
|yA-yB|
3.4 平面的投影
一、平面的表示法
二、各种位置平面的投影特性
三、属于平面的点和直线
一、平面的表示法
1.用几何元素表示平面
c ●
● a
c ●
● a ● a
c ● b ●b
●
● ● a d ●
c
● ● a
c
b ●b
●
b ●b
●
b ●b
● ●
b ●b
已知 α=30°求b
例11 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C 的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。
b
L
ABca源自zA-zBabb
BC=L a c
例12 作三角形ABC，ABC为直角，使BC 在MN上，且BCAB =23。
a
b
bc=BC
n
ab
m
c
AB
m
c a
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
交叉两直线重影点投影的可见性判断
1(2)
d b
V
1(2)
a c
d
b
B X
a c b
O
2
Ⅱ
D
X
A a
Ⅰ
2 C
c
O
b
a c
1
d
1 d
例5 过C点作水平线CD与AB相交。
b
c a
k
d
Y a
2.投影面垂直面 Z V a'
d'
A D b' a" B
铅垂面 正垂面 侧垂面
a d b
AB为正平线, 正面 投影反映直角。
c c a
●
●
d
b
例8
作线段AB、CD 的公垂线EF。 c f ab
e
d
O
X b e a c f d
五、直角三角形法求直线实长、夹角
在特殊位置直线的投影中，能得到该直线 段的实长以及与投影面的夹角的实际大小，而 在一般位置直线的投影中，则不能。如果在投 影、倾角与实长三者之间建立起直角三角形关 系，则为直线段倾角与实长的图解提供了理论 依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。 直角三角形的四个要素中（实长、投影、 坐标差及直线对投影面的夹角）已知任意两个 可确定另外两个。
YW
X
a b

b
Y 投影特性： 1．ab OX ; ab OYW 2．ab=AB 3．反映、 角的真实大小
YH
正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b
b
a

a

O
X
YW
a
b YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ
2． a b=AB 3． 反映 角的真实大小
a
d c
k
b
先作正面投影
例6
判断两直线的相对位置
b d a c d c a d d z a d
a c
b
b
d 相交 b c a b d
a
平行
c
b c 相交 a b c c c b a b d d d a a b YW c a d b b d a 交叉 c Y 交叉
V b c
C B
a
AC/CB=ac/cb= ac / cb
若点的投影有一个不在 直线的同名投影上， 则该 点必不在此直线上。
A
a
c
b H
定比性
例3 已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1两段，求分点C 的投 影 c 、 c 。
b
c
a
b c
a
例4 判断点K是否在线段AB上。
侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a Z a

b X a O

b
YW
b YH
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
2． ab =AB 3．反映 、 角的真实大小
4.投影面垂直线
V
Z
a A b a
铅垂线 正垂线 侧垂线