1 1
3
x
1
1
8
解得
x=－3，
经检验：x=－3是原方程的解.
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
分式方程 去分母 整式方程
解整式方程
x=a
检验
x=a是分式 最简公分母不为0 最简公分母为0 x=a不是分
方程的解
式方程的解
分式方程
整式方程
解分式方程的一般步骤
练习2 指出下列方程中各分母的最简分母，
并写出去分母后得到的整式方程.
①
1 2x
2； x3
②
x
2
1
4. x2 1
解：①最简公分母为2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
②最简公分母为x2-1，去分母得 2(x+1)=4．
探究新知
下面我们再讨论一个分式方程
1
10 .
x5
x2 25
②
解：方程两边同乘最简公分母（x-5）（x+5），得
一般地，解分式方程时，去分母后所得整 式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此 应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最 简公分母的值不为0，则整式方程解是原分 式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解.
精讲例题
例1
解方程
2 x3
3 x
.
解：方程两边乘 x（x-3），得
2x = 3x-9
ab b
21a是原分式方程的解．
随堂练习
2
1.把分式方程 x 1
2 x 1 x
1 两边同乘
x－1，约去分母后，得（ D ） A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1
D.2+（2－x）=x－1
2.分式方程
3 x
6 x 1
x5 x( x 1)
0
的解是（ D ） A. x=1
分母中含有未知数．
引入新知 分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 追问 你能再写出几个分式方程吗？
1 = 2 ； 1 = 10 ； 2 x x+3 x-5 x2 -25
我们以前学习的方程都是整式方程，它们 的未知数不在分母中．
巩固练习
练习1 下列哪些是分式方程？ _④__⑤__
分式方程
第1课时 分式方程及其解法
问题情境
一艘轮船在静水中的最大航速为３0千米/时，它沿 江以最大航速顺流航行９0千米所用的时间，与以最 大航速逆流航行60千米所用的时间相等．江水的流 速为多少？
一艘轮船在静水中的最大航速为３0千米/时，它沿江以最大航速顺
流航行９0千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的
B. x =－1
C. x=－14
D.无解
x 1
3.已知关于x的方程 x2 x
1 3x
xk 3x 3
无解，
求k的值.
解：去分母，得3x+3－（x－1）=x2+kx， 整理，得x2+（k－2）x-4=0.① 因为分式方程，所以x=0或x=1. 当x=0时，代入方程①，得－4=0， 所以x≠0； 当x=1时，代入方程①，得k=5， 所以k=5.
解得
x=9
检验： 当 x = 9时， x（x-3）≠0，
所以，原分式方程的解为 x =9.
例2
解方程
x
x
1
1
（x
3 1）（x
2）.
解：方程两边乘（x－1）（x+2），得
x（ x+2）－（x－1）（x+2）=3
解得
检验： 当x=1时，（x=x－1 1）（x+2）=0， 因此， x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解.
①
②
x2 5
2y 2 3
③
x
1
2
④x+xyy =1
3 5
=1
⑤x
1 x
1
⑥
x π
3
2 5
x
思考：
如何解分式方程①
90 = 60 30+ v 30- v
可以先去分母，将分式方程转化为我们熟
知的整式方程，再解整式方程．
如
解分式方程：
90 30+v
=
60 30-v
（30+v）（30-v）， 得
90（30-v）=60（30+v）.
巩固练习
练习4
解关于x 的方程
x
a
a
b
1（ b ≠ 1）.
解：方程两边同乘x-a，得
a+b（x-a）= x-a
去括号，得 a+bx-ab =x-a
移项、合并同类项，得
（b-1）x = ab-2a
∴x
ab 2a b 1
检验：当 x
ab b
2a 1
时，∵
b
≠
1，∴b-1
≠0，
x-a ≠ 0，所以 x
2x（x+3），
检验：
1
去分母，得
左边= 2 =右边，
x+3=4x， 所以x=1是原分式
解得
方程的解.
x=1.
探究新知
上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得 整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式 方程的解却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未
知数的式子（最简公分母）.
x+5=10．
解得
x=5．
x=5是原分式方 程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分 母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意 义．因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不 是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无 解.
巩固练习
练习3 解方程并检验.
1 2 . 2x x 3
解：最简公分母为
方程① 当v=6时，（30+v）（30-v）≠0，这就是说，去分
母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此
方程② 所当得x=整5时式，方（程x的-5）解（与x①+的5）解=相0，同这. 就是说，去分母
时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所 得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这 样的解不是②的解.
时间相等．江水的流速为多少？
分析:设江水的流速为v千米/时,则
轮船顺流航行速度为３0+v 千米/时，
逆流航行速度为３0－v 千米/时，90 30 v
顺流航行100千米所用的时间为3060 v 时，
逆流航行60千米所用的时间为
时.：
根据题意，得
90 = 60
30+ v 30- v . ①
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
4.解方程：
(x
1 1)( x
2)
(x
1 2)( x
5)
(x
1 5)( x
8)
(x
1 8)( x
11)
1
1
3 x 3 24
解：方程可化为：
1 1
3
x
1
1 x
2
1 1
3
x
2
1
x
5
1 3
x
1
5
x
1
8
1 1
3
x
8
x
1
11
1
1，
3 x 3 24
得
1 1
3
x
1
x
1
11
解得
v = 6.
检验：将v=6代入原方程中，左边=2.5=右边，
因此v=6是原方程的解.
即江水的流速为６ｋｍ／ｈ．
归纳总结
将方程①化成整式方程 的关键步骤是什么？ 解分式方程①的基本思路是将分式方程化为 整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边 乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
巩固练习