【典例剖析】

例题： (1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的
形状为
A．等边三角形
B．非等边的等腰三角形

C．直角三角形
D．钝角三角形
(1)解析：因为 A，B，C 成等差数列，所以 2B＝A＋C＝π －B，所以 B＝3π，又 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，由余 弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ca2c－ac＝12，所以(a－c)2＝0， 所以 a＝c，又 B＝3π，故△ABC 为等边三角形．
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ac ； a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
在三角形中： ①大角对大边，大边对大角； ②大角的正弦值较大，正弦值较大 的角也较大，即在△ABC中，
A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
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答案：A
【活学活用】
2．(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别
为a、b、c，且2c2＝2a2＋A 2b2＋ab，则△ABC 是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．(2)在锐△角AB三C中角，形a，b，c分别为D角．A，等B边，C三所角对的形边，若a＝
2bcos C，则此三角形一定是( C ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形

判断三角形形状的方法
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与 边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应 关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角 的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得 出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此 时要注意A＋B＋C＝π这个结论的运用．
asin C＝csin A.
二、三角形的面积公式
1．S＝21a·ha，(ha 表示 a 边上的高)．
1
1
2．S＝21bcsin A＝ 2acsin B ＝ 2absin C
.
3．S＝21(a＋b＋c)·r(r 为三角形内切圆半径)．
4、S p( p a)( p b)( p c)其中p a b c 2
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
①求A的大小； ②若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
(2)① 正弦定理、条件 → cos A＝－12 → A的大小 ； ② ①中a2＝b2＋c2＋bc → sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C ―条―件→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
第三章 三角函数、解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
2016.9.21
上节课知识回顾
一、正、余弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
=2R
b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcosC
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，