② 已知 Ωc 、Ωs 和 Ω=Ωp( Ω ≠ -3dB1.总结学过的滤波器设计方法，用 matlab 仿真例子分析不同设计方法的滤波器 的性能及适应场合。

答：1.1 模拟低通滤波器的设计方法1.1.1 Butterworth 滤波器设计步骤：⑴.确定阶次 N① 已知 Ωc 、Ωs 和 As 阶数 N求出 p )的衰减 Ap 求 阶数 N③ 已知 Ωp 、Ωs 和 Ω=Ωp 的衰减 Ap 和 As则：(Ω p / Ωc )2N= 10 A p /10 -1, (Ωs / Ωc )2N= 10A s/10 -1⑵.用阶次N确定H a(s)根据公式：H a(s)H a(-s)在左半平面的极点即为H a(s)的极点，因而1.1.2切比雪夫低通滤波器设计步骤：⑴.确定技术指标ΩpαpΩsαs归一化：λp=Ωp/Ωp=1λs=Ωs/Ωp ⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N及ε：δ=αpε2=100.1δ-1⑶.求出归一化系统函数其中极点由下式求出：、阻带截止频率ω 、阻带最小衰减系数α s 。

或者由 N 和 S 直接查表得 H a ( p )2.数字低通滤波器的设计步骤：（1） 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率α pωp、通带最大衰减系数（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。

巴特沃斯：k =1切比雪夫： λs = Ωs / Ω pε 2 = 100.1δ -1δ = α ppt t t t H a (s )= ∑th a (t )= ∑ A i e s i tu (t )（3）把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数 H (S ) 映射成数字滤波器的系统函数 H (z ) 。

实现系统传递函数 s 域至 z 域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。

（3.1）脉冲响应不变法。

按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数 H a (s )转换成数字低通滤波器的系统函数 H(z)。

设模拟滤波器的传输函数为 H a (s )，相应的单位冲激响应是 h a ( )， H a (s )=LT[h a ( )]，LT[.]代表拉氏变换，对 h a ( )进行等间隔采样，采样间隔为 T ，得到h a (nT)，将 h(n)=h a (nT )作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数 H(z)便是 h(n)的 Z 变换。

因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方 法，它是 h(n)在采样点上等于 h a ( )。

设模拟滤波器 H a (s )只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次， 将 H a (s )用部分分式表示：Ni =1 A is - s i ，式中 s i 为 H a (s )的单阶极点。

将 H a (s )逆拉氏变换得到 h a ( )：Ni =1，式中 u(t)是单位阶跃函数。

h (n )= h a (nT ) = ∑ A i e s inTu (nT )t A i H (z )= ∑i =1 1 - e H (z ) z =e sT = ∑ H ±π/T 之间，再用 z = e 转换到 z 平面上。

设 Ha （s ），s=j Ω，经过非线性频率对 h a ( )进行等间隔采样，采样间隔为 T,得到：Ni =1对上式进行 Z 变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z)：N s i T z -1，经过一系列变换得到：1 T ka (s - jk Ω s )（3.2）双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到sT压缩后用 Ha （s1）， s 1 =j Ω1 表示，这里用正切变换实现频率压缩：Ω =2Ttan (0.5Ω1T )式中 T 仍是采样间隔，当 Ω1 从-π/T 经过 0 变化到 π/T 时，Ω 则由-∞经过 0变化到+∞，实现了 s 平面上整个虚轴完全压缩到 s 1 平面上虚轴的±π/T 之间的 转换。

这样便有s = 2 T th (0.5Ω1T )= 2 1 - z -s 1TT 1 + z -s 1t再通过 z = e2 1 - z -1s =T 1 + z -1sT转换到 z 平面上，得到：tan ωz = 2 T 2 T+ s- s 令 s = j Ω, z = e j ω，有j Ω = 2 1 - e - jωT 1 + e - j ω Ω =2 T 1 2两种方法比较：脉冲响应不变法的优点：1）模拟频率到数字频率的转换时线性的；2）数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应， 因此时域特性逼近好。

缺点：会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器 双线性变换法优点：克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠 缺点：时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。

3.数字高通滤波器的设计步骤：① 数字高通滤波器的技术指标为：通带截止频率 ωp 阻带截止频率 ωs通带衰减频率 阻带衰减频率cot( s )cot( p )=Ω ℎw p = 2π f p / F sw s = 2π f s / F s② 预畸变处理，将数字高通指标转换为模拟低通指标Ωs = 2 T w 2Ω p =2Tw 2④ 确定阶数 N由N =Ωs Ω p（可由模拟低通滤波器设计方法可得 H a (s ) ）④ 归一化及去归一化查表令 s=s/Ω 归一化模拟低通圆型系统函数( ) =12+ 2 + 1⑤ 低通向高通转化令 s1=1/s 由频率变换公式( ) = ( )|即可得⑥ 滤波器数字化令 s = T 1 + z -12 1- z -1 利用双线性变换化( ) = ( )|=1 ‒ ‒ 11 + ‒ 1带入数据可得数字高通 H(z)数字高通不能采用脉冲响应不变法原因是：脉冲响应不变法有频谱周期延拓效 应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。

而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通滤波器,由于它们在高频部分不衰减， 因此将完全混淆在低频响应中。

4.数字带通滤波器的设计：步骤：Ω =2 ∗ tan ( )（1） 确定性能指标: 在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要 确定滤波器的技术指标:通带截止频率 wc1,wc2、阻带截止频率 wr1，wr2、阻带 最小衰减 αs 通带最大衰减 αp(2) 对带通数字滤波器 H(z)的数字边界频率预畸变2得到带通模拟滤波器 H(s)的边界频率主要是通带截止频率 ωp1,ωp2;阻带截止频率 ωs1，ωs2 的转换。

对双线性变换法一般 T=2s通带截止频率 wc1=(2/T)*tan(wp1/2) 、wc2=(2/T)*tan(wp2/2)阻带截止频率 wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)阻带最小衰减 αs通带最大衰减 αp(3)低通到带通频率变换=((Ω2) ‒ (Ω02)∗ Ω)将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。

B=wc2-wc1normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1))normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2))normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1))s=T1+z s(Ωu-Ωl)s=21-zH(z)z=e sT=∑Hnormwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2))模拟低通滤波器指标：normwc，normwr，αp，αs(4)设计模拟低通原型滤波器。

查表得到归一化低通传输函数G(p)：()=12+2+1用模拟低通滤波器设计方法（由巴特沃斯设计步骤或切比雪夫设计步骤）得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)(5)模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。

H a(s)=G(p)p=s2+Ω20s(Ωu-Ωl)(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)由-121-z-1p=s2+Ω20-11+z-1得到()=()|=1‒‒11+‒1也可以用脉冲响应不变法：1T k a(s-jkΩs)两种方法比较比较：脉冲响应不变法数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。

但会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器双线性变换法可以克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠但时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。

5.数字带阻滤波器的设计：Ω=2∗tan()步骤：（1）确定性能指标:通带截止频率wc1,wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp(2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变2主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。

对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2)、wc2=(2/T)*tan(wp2/2)阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)阻带最小衰减αs通带最大衰减αp（由模拟低通滤波器设计方法可得H a(s)）模拟低通滤波器确定模拟带阻滤波器由模拟低通到模拟带阻的变换这一模拟低通到带阻的变换关系为=Ω20 2+Ω20式中s为模拟低通原型拉普拉斯变量(s=σ+jΩ)，为模拟带阻的拉普拉斯变量(=σ+jΩ)，Ω0是模拟带阻滤波器的几何中心频率。

令=jΩ可得=Ω20ΩΩ20‒Ω2故平面的虚轴与s平面的虚轴相对应，代入s=jΩ，消去j，可得= Ω20 2 + Ω20)由模拟带阻到数字带阻的变换= 11 +‒ ‒ 1Ω =20ΩΩ20 ‒ Ω2低通的阻带映像到带阻的阻带Ω = Ω20Ω1Ω20 ‒ Ω21‒ Ω = Ω20Ω2Ω20 ‒ Ω22化简得到：Ω0 = Ω1Ω2 = Ω2 ‒ Ω1 = Ω1Ω3Ω在 H ( )中的变换关系，可得到带阻滤波器系统函数= |(仍利用双线性变换‒ 1模拟低通原型滤波器的 平面变换成数字带阻滤波器的 平面的表达式可得=1(1 ‒ ‒ 1) 1 ‒ 1 ‒ 1 + ‒ 2从模拟低通系统函数 H ( )，转换数字带阻系统函数= |=1(1 ‒ ‒1)1 ‒ 1 ‒ 1 + ‒ 2数字带阻滤波器不能用脉冲响应不变法：原因是脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。

而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。

信信/HMATLAB 中程序运行： >> fp=2100; fs=8000; >>Fs=20000;>>Rp=0.5; Rs=30;>>T=1/Fs; %设计指标 >>W1p=fp/Fs*2;W1s=fs/Fs*2;>> [N,Wn] = buttord (W1p,W1s,Rp,Rs,'s'); >> [z,p,k]=buttap(N); >> [bp,ap]=zp2tf(z,p,k);>> [bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs);>> [bz,az]=impinvar(bs,as,Fs); %用脉冲响应不变法进行模数变换 >>sys=tf(bz,az,T);>> [H,W]=freqz(bz,az,512,Fs);>> plot(W,abs(H)); grid on; xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅/H'); title('巴特沃斯滤波器')信 信 信 信 信 信 信1.41.210.80.60.40.20 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000信 信 /Hz>>fs=20000; wp=2*pi*2100/fs; ws=2*pi*8000/fs; >>Rp=0.5; >>Rs=30; >>Ts=1/fs;>>Wp=2/Ts*tan(wp/2);Ws=2/Ts*tan(ws/2); >> [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); >> [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs); >> [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); >>[b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn); >> [bz,az]=bilinear(b,a,fs);>>[H,f]=freqz(bz,az,512,fs);>>plot(f,abs(H));title('椭圆低通滤波器');grid on;xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB')>>Fs=20000;>>Flp=2100;>>Fls=8000;>>Wp=2*Flp/Fs;>>Ws=2*Fls/Fs;>>Rp=0.5;>>Rs=30;>>[N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs);>>[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn);>>[hw,w]=freqz(b,a);>>plot(w/pi,abs(hw));grid on;>>xlabel('ω/π');ylabel('幅度（dB）');title('切比雪夫I型幅频响应')信信信d B 信10.90.80.70.60.50.40.30.20.1信 信 信 信 I 信 信 信 信 信0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1ω/π>> Fs=20000; >>Flp=2100; >>Fls=8000; >>Wp=2*Flp/Fs; >>Ws=2*Fls/Fs; >>Rp=0.5; >>Rs=30;>> [N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs); >> [b,a]=cheby2(N,Rs,Wn); >> [hw,w]=freqz(b,a);>> plot(w/pi,abs(hw)); grid on;>> xlabel('ω/π');ylabel('幅度（dB ）');title('切比雪夫 II 型幅频响应');信信信d B 信1.41.210.80.60.40.2信 信 信 信 II 信 信 信 信 信0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1ω/π2. 用计算机麦克录自己的语音信号，语音信号采样频率为 22050，用 matlab完成下列分析：1）播放语音信号；对信号做 1024 点 FFT 变换；做原始语音信号的时域图形； 做原始语音信号的 FFT 频谱图。