第八章 平面解析几何
1. 曲线C 上的点与方程0),(=y x F 之间的关系： （1） 曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；
（2） 以方程0),(=y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上。

则曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程。

2. ∆求曲线方程的方法及步骤 （1） 设动点的坐标为),(y x
（2） 写出动点在曲线上的充要条件； （3） 用y x ,的关系式表示这个条件列出的方程
（4） 化简方程（不需要的全部约掉） 3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4. 直线
（1） 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条
直线的倾斜角。

其范围是),0[π
（2） 斜率：①倾斜角为090的直线没有斜率；
②αtan =k （倾斜角
的正切）
注：当倾斜角α增大时，斜率k 也随着增大；当倾斜角α减小时，斜率k 也随着减小！
③已知直线l 的方向向量为),(21v v ，则1
2
v v k l =
④经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1
21
2x x y y K --= )(21x x ≠
⑤直线0=++C By Ax 的斜率B
A K -= （3） 直线的方程 ① 两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=--
② ∆斜截式：b kx y += ③ ∆点斜式：)(00x x k y y -=-
④ 截距式：
1=+b
y
a x 轴上的截距在为轴上的截距，在为y l
b x l a ⑤ ∆一般式：0=++C By Ax 其中直线l 的一个方向向量为),(A B -
注：(Ⅰ)若直线l 方程为0543=++y x ，则与l 平行的直线可设为043=++C y x ；与l 垂直的直线可设为034=+-C y x 。

（4） 两条直线的位置关系
① 斜截式：111:b x k y l +=与222:b x k y l +=
1l ∥2l ⇔2121b b k k ≠=且
1l 与2l 重合⇔2121b b k k ==且， 1l ⊥2l ⇔121-=⋅k k ，
1l 与2l 相交⇔
21k k ≠
② 一般式：0:1111=++C x B x A l 与0:2222=++C x B x A l
1l ∥2l ⇔
2
2
2121C C B B A A ≠= 1l 与2l 重合⇔
22
2121C C B B A A == 1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A
1l 与2l 相交⇔
2
121B B A A ≠ （5） 两直线的夹角公式
① 定义：两直线相交有四个角，其中不大于
2
π
的那个角。

② 范围：]2
,0[π
③ 斜截式：111:b x k y l +=与222:b x k y l +=
|1|
tan 2
12
1k k k k +-=θ （可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解）
一般式：0:1111=++C x B x A l 与0:2222=++C x B x A l
22
2221
21
2121||cos B
A B
A B B A A +++=
θ
(6)点到直线的距离
①∆点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2
2
00|
|B
A C By Ax d +++=
③ 两平行线01=++C By Ax 和02=++C By Ax 的距离：2
2
21||B
A C C d +-=
5. 圆的方程
（1） 标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）其中圆心),(b a ，半径r 。

（2） 一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）
圆心（2
,2E
D --） 半径：2
422F
E D r -+=
(3)参数方程：2
2
2
)()(r b y a x =-+-的参数方程为⎩
⎨⎧+=+=b r y a
r x θθcos cos ))2,0[(πθ∈
（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径r 比
较。

相交⇔<r d ；相切⇔=r d ；相离⇔>r d
（6） 圆1O 与圆2O 的位置关系：利用两圆心的距离d 与两半径之和21r r +及两半
径之差21r r -比较，再画个图像来判定。

（总共五种：相离、外切、内切、相交、内含） （7） 圆的切线方程：
① 过圆122=+y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程：200r y y x x =+
② 过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 的圆的切线方程：肯定有两条，设切线的斜率为k ，写出切线方程（点斜式），再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出k 。

6. 圆锥曲线的定义：动点到定点（焦点）的距离和到定直线（准线）的距离之比为常数e （离心率）的点的轨迹。

当10<<e 时，为椭圆；当1>e 时，为双曲线；当1=e 时为抛物线。

8.双曲线
注：1.等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等⇒b a =（2）离心率2=e （3）渐近线x y ±=
2.（1）以mx y ±=为渐近线的双曲线方程可设为λ=-+))((mx y mx y )0(≠λ
∆（2）与双曲线122
22=-b y a x 有相同渐近线的双曲线可设为：λ=-22
22b
y a x
9. 抛物线
注：（1）p 的几何意义表示焦点到准线的距离。

（2）∆ 掌握焦点在哪个轴上的判断方法
（3）∆AB 是抛物线px y 22=)0(>p 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则①弦
长p x x AB ++=21||②4
221p x x =；221p y y -=。