福建省泉州五中2014届高三5月模拟考试数学理试卷
2014-5-17
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（每题5分，共50分）
1．在复平面内，复数521
i
z i =
-的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -
2. 已知x R ∈，则“1x ≥”是“1
1x
≤”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内为( ) A. 6>k B. 5>k C. 4>k D. 3>k
4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且56386a a a a +=， 则
3132310
log log log a a a +++=（ ）
第3题图
A ．6
B ．5
C ．4
D ．2+log 3 5
5．要得到函数cos(2)3
y x π
=-的图象，只需将函数sin(2)y x =的图象（ ）
A ．左移
12π个单位 B ．右移12π个单位
C ．左移512π个单位
D ．右移512
π
个单位
6． 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，
则该几何体的侧面积为（ ）
A B ． 4+
C ．
D ． 4+
第6题图
7．已知(1)f x +为R 上的奇函数，且1x >时，()3x f x =，则3(log 2)f 的值为（ ） A ．92- B ．94- C ．
92 D ．94
8．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数
共有（ ）种。

A.180
B.240
C.360
D.480
9． 已知2F ，1F 是双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰
好落在以1F 为圆心，1||OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ． 3 C ．2 D ． 2
10．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()1,0-内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立,则实数a 的取值范围为( )
A. [)6,+∞
B. [4,)+∞
C. 1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D. [1,)+∞ 二．填空题(每题4分，共20分)
11．设变量,x y 满足约束条件0020x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为 __
12．已知点P 是边长为2的正三角形ABC ∆的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+的值为____________.
13．已知实数[],0,2a b ∈，则函数2()f x x ax b =++在实数集R 上有两个零点的概率为___________________.
14．已知数列{}n a 是正项等差数列，若12323123n
n a a a na C n
++++=
++++，则数列{}n C 也为等差数列. 类
比上述结论，已知数列{}n b 是正项等比数列，若n d = ，则数列{n d }也为等比数列.
15．3
[0,],sin cos 104
x x x ax π∀∈--+≥恒成立，则实数a 的取值范围为_____________。

三．解答题
16．（本题满分13分）已知函数()2cos sin()()6
f x x x x R π
=⋅-∈
（1）求()f x 在[0,]π上的单调增区间；
（2）⊿ABC 中，()1f C =，且边长c =2，求⊿ABC 面积的最大值。

17．（本题满分13分）如图，已知底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，ABC ∆是边长为2的正三
角形，AP BP ===N 为线段AC 的中点，M 为侧棱PB 的中点， （1）求证：||NM 平面PAD ；
（2）求证:平面PAB ⊥平面ABCD ； （3）求直线DP 和平面PAC 所成角的正弦值。

18．（本题满分13分）
某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如下表：
（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程a x b y
ˆˆˆ+=，根据表中数据已经正确算出 6.0ˆ=b
，试求出a ˆ的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件） （Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾 客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题。

记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X ，求X 的分布列和数学期望。

19．（本题满分13分）
已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的
动点，且A P B ∆面积的最大值为． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断 以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．
20.（本题满分14分）
已知函数()ln f x x =，1
()1
x g x k
x -=+， （1）求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；
（2）当1x >时，函数()()f x g x >恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：222111ln(1)ln(1)ln(1)12
1
n
n n ++++++
>+。

21.本题有（1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分
(1) (本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵22M ⎛= ⎝ a b ⎫⎪⎭
的两个特征值分别为11λ=-和24λ=，
(I)求实数,a b 的值；
(II )若直线l 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为230x y --=，求直线l 的方程.
（2）(本小题满分7分)选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中, 过点(1,2)P 作倾斜角为0
45的直线l 与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,．
（Ⅰ）写出直线l 的参数方程；（Ⅱ）求
PN
PM 1
1+ 的值．
（3）(本小题满分7分)选修4-5：不等式
巳知函数()|1||23|f x x x =-++，x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ；
（Ⅱ）若,,,a b c R ∈且4
4
4
a b c m ++=，求2
2
2
23a b c ++的最大值。