2014年南开大学数学试点班自主招生考试题(A 卷)
总分:200分 考试时间:2014-2-16 8:30-11:30
一.填空题(每小题7分,共70分)
1.若单位向量a ,b 满足|23|10a b -=,则|32|a b += .
【答案】 4 【解析】由|23|10a b -=平方得:11312104
a b a b -⋅=⇒⋅=, 则2|32|131213316a b a b +=+⋅=+=,所以|32|4a b +=.
2.若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=,则复数z 的实部为 .
【答案】25
- 【解析】设(,)z x yi x y R =+∈,由2||(1)0z z i z +⋅+-=得:22()(2)0x y y x y i +-++=.
则22
00020x x y y y x y =⎧+-=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩,或251
5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.又0z ≠,所以z 的实部为25-. 3.无重复数字(不含0)且4与5不相邻的五位数共有 个.
【答案】13440
【解析】用排除法.
不含0的无重复数字的五位数共5915120A =个,
其中,4和5相邻的无重复数字(不含0)的五位数共3427421680C A A =个,
所以,无重复数字(不含0)且4与5不相邻的五位数共有15120168013440-=个.
4.在三棱锥P ABC -中,底面为边长为3的正三角形,且3PA =,4PB =,5PC =,则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= .
【解析】易知PBC ∆是直角三角形,取斜边PC 的中点为O ,
因为AP AB AC ==,所以点A 在平面PBC 上的射影为直 角PBC ∆的外心O ,连接AO ,即有AO ⊥平面PBC . P A
B C O 3 3 3
3 4 5。