模型参考自适应控制系统模型参考自适应系统是比较常用的自适应系统，对于这类系统，人们已经提出了许多的设计方法，有的比较成熟，有的还正在发展，尚待完善。

从工程实施的观点出发，希望设计出的系统能在性能和复杂程度之间取得较好的权衡。

为了简化适应系统，希望所确定的自适应规律，无需直接求解线性或非线性方程。

因此，2模型参考自适应系统的设计问题看做是系统的参数或状态平衡位置而进行自动调整的问题。

1模型参考自适应控制系统典型结构模型参考自适应控制系统有参考模型、可调系统和自适应机构3部分组成，常见的一种典型结构如下图所示。

由四部分组成：◆带有未知参数的被控对象假设被控对象的结构已知。

对于线性系统，这意味着系统的极点数和零点数是已知的，但它们的位置是未知的。

◆参考模型（它描述控制系统的期望的输出）应当能反映控制任务中的指定的性能；规定的理想性态应当是自适应控制系统可以达到的，即当给定对象模型结构后，对参考模型的结构有一些特有的限制（如阶数和相对阶）。

◆带有可校正参数的反馈控制律可以得到一族控制器；应当具有“完全的跟踪能力”，达到跟踪收敛，即当被控对象的参数精确已知时，相应的控制律应当使系统的输出与参考模型的输出相等；现有的自适应控制设计通常要求控制器参数线性化。

如果控制规律中可调整的参数是线性的，则称控制器是参数线性化的。

◆ 校正参数的自适应机制能保证当参数变化时系统稳定并使得跟踪误差收敛到零； 设计方法有李雅普诺夫定理，超稳定性理论，耗散理论等。

2质量未知的模型参考自适应控制图1.2 一个非线性质量一阻尼—弹簧系统图1.2中的质量一阻尼—弹簧系统，其动力学方程为301||0mxbx x k x k x +++=其中，||bxx 表示非线性耗散式阻尼，而31()k x k x +代表非线性弹簧。

考查用电动机力u 控制一个质量为m 的质点在没有摩擦的表面上运动，其性态可以描述为x m = （1.1）假设给控制系统发出定位指令)(t r 。

用下面的参考模型给出受控物体对外部指令)(t r 的理想响应)(221t r x x x m m m λλλ=++ （1.2）其中，正常数1λ和2λ反映指定的性能，在理想情况下，物体应当像质量—弹簧—阻尼系统一样运动到指定的位置)(t r 。

若质量m 精确已知，可以用下面的控制律实现完全跟踪)~~2(2x x x m u m λλ--=其中，)()(~t x t x x m -=表示跟踪误差， λ是一个严格大于零的数。

由这个控制器可以得到按指数收敛的误差系统0~~2~2=++x x x λλ现在假设质量 m 不是精确已知的。

可以用下面的控制律)~~2(ˆ2x x x m u m λλ--=（1.3）其中，m ˆ表示可以校正的参数。

将这个控制律带入对象动态中，得到闭环误差动态v m ms s m ~=+λ （1.4）其中，s 是组合跟踪误差，定义为x x s ~~λ+= （1.5）信号量v 定义为x x x v m ~~22λλ--=参数估计误差m~ 定义为 m m m-=ˆ~ 方程(1.4)表明组合跟踪误差s 与参数误差通过一个稳定滤波器相关联。

mˆ的参数更新规律 vs mγ-= ˆ （1.6） 其中正常数 γ称为自适应增益。

注：参数 mˆ的校正是基于系统的信号，自适应控制系统具有非线性本质，从而控制器（1.3）也是非线性的。

仿真分析：设物体的真实质量是2=m ，选择零作为mˆ 的初值，这表明预先不知道真实质量。

自适应增益为 5.0=γ，分别选择其他设计参数为 101=λ， 252=λ， 6=λ。

图1.3 跟踪性能和未知质量参数的估计，图1.4 跟踪性能和未知质量参数的估计，图1.3表示位置指令为0)(=t r 初始条件为0)0()0(==m x x, 5.0)0()0(==m x x 的仿真结果。

图1.4表示期望位置是正弦函数t t r 4sin )(=的仿真结果。

两种情形下位置跟踪误差均收敛到零，而只有后一种情形参数误差趋于零。

3模型参考自适应控制方法(MRAC)和自校正控制方法（STC ）的关系4一阶系统的自适应控制讨论一阶系统的自适应控制。

过程可以近似地表示为一阶微分方程u b y a y p p +-= (4.5)其中， y 是系统输出， u 是输入，p a 和p b 是系统参数。

（1） 问题描述在自适应控制中，假定系统参数p a 和 p b 是未知的。

所期望的自适应系统的性态设为一阶参考模型)(t r b y a ym m m m +-= (4.6)其中，m a 和 m b 是常数， )(t r 是有界的外部参考信号。

参数m a 要求是严格正的，m b 也选为严格正数。

参考模型可以用它的传递函数 M 表示为Mr y m =其中mm a p b M +=且 p 是拉普拉斯变量。

注意到 M 是严正实函数。

自适应控制的目的：寻找控制规律和自适应规律，使得模型的跟踪误差my t y -)( 渐近地收敛到零。

需要假设参数pb 的符号已知（2） 控制律的选择一阶模型参考自适应控制系统选择如下控制律y t a r t au y r )(ˆ)(ˆ+= (4.7)其中 r aˆ和y a ˆ 是时变反馈增益。

闭环系统为 )(ˆ)ˆ(t r b a y b a a yp r p y p +--= (4.8)目标是使得系统可能实现精确模型匹配。

如果被控对象参数已知，那么选择下面的控制参数pm rb b a =* pmp yb a a a -=* (4.9)则相应的闭环系统为r b y a ym m +-= 它和参考模型动态相同，从而有零跟踪误差。

（3） 自适应律的选择 记跟踪误差为m y y e -=参数误差定义为自适应律提供的控制器参数与理想参数的差，即ˆ()ˆr r r y y yaa a t a a a **⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦a (4.10)将（4.6）(参考模型)减去（4.8）（闭环系统）得到跟踪误差的动态ˆˆ()()()()m m m p p y p r m m p r y ea y y a ab a y b a b r a e b ar a y =--+-++-=-++ (4.11)它可以表示为参数误差和跟踪误差之间的关系式)~~(1)~~(y a r a M a y a r a a p b e y r r y r m p+=++=*(4.12)其中 p 表示拉普拉斯变量。

由引理4.1，得到下面的自适应律er b ap r γ)sgn(ˆ-= (4.13a) ey b ap y γ)sgn(ˆ-=(4.13b)其中 γ是表示自适应增益的正常数。

)sgn(p b 决定了搜索适当控制器参数的方向。

（4） 跟踪收敛性分析用李雅普诺夫理论（或引理4.1）来分析系统的稳定性和收敛性质。

候选李雅普诺夫函数如下22211(,)()22p r yV e e b a a γ=++ φ (4.14)沿系统轨线的导数为2mV a e =- 于是，自适应系统是全局稳定的，即信号ra e ~, 和y a ~ 都有界。

由Barbalat 引理保证跟踪误差 )(t e 全局渐近收敛。

因为ra e ~,和 y a ~的有界性蕴含e 的有界性，从而V是一致连续的。

5自适应控制系统的鲁棒性假定：除了参数不确定性外没有其他不确定因素。

在实际中，存在许多类型的非参数不确定性，这包括：• 高频未建模动态，如执行器动态；• 低频未建模动态，如干摩擦阻尼和静摩擦； • 量测噪声。

设计自适应控制器就是为了控制实际物理系统，并且这些非参数不确定性是不可避免的，所以下面几个关于非参数不确定性的问题非常重要：• 非参数不确定性对自适应控制系统有什么影响？ • 如何才能使自适应控制系统对它们不敏感？包含有理想系统模型并能以模型的工作状态为标准自行调整参数的适应控制系统，简称模型参考系统。

这种适应控制系统已有较成熟的分析综合理论和方法。

模型参考适应控制系统最初是为设计飞机自动驾驶仪而提出的，初期阶段由于技术上的困难而未能得到广泛应用。

随着微型计算机技术的发展，这种系统的实现已较容易。

模型参考适应控制技术已在飞机自动驾驶仪、舰船自动驾驶系统、光电跟踪望远镜随动系统、可控硅调速系统和机械手控制系统等方面得到应用。

在模型参考适应控制系统中，自适应环节常是非线性的。

如果设计不当，可能使整个系统失去稳定。

自适应律的合理设计是模型参考系统设计中的核心问题。

为使系统稳定工作，可采用李雅普诺夫直接法（见李雅普诺夫稳定性理论）或波波夫超稳定性理论的概念和方法来设计自适应律。