(A)只有①②
(B)只有①④
(C)只有①③④ (D)只有③④
4.(映射)已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作
从A到B的映射的是( D )
(A)f:x→y= 1 x (B)f:x→y= 1 x
8
4
(C)f:x→y= 1 x (D)f:x→y=x 2
5.(分段函数)设 函数
解:当 m≤-2 时,m+1>3m-5,即 m<3, 所以 m≤-2. 当-2<m<2 时,m2+2m>3m-5,
即 m2-m+5>0.由 m2-m+5=(m- 1 )2+ 19 >0 知, 24
-2<m<2. 当 m≥2 时,2m-1>3m-5, 即 m<4,即 2≤m<4. 综上可知,满足 f(m)>3m-5 的实数 m 的取值范围为(-∞,-2]∪(-2,2)∪[2,4)=(-∞,4).
解之得 a= 2 -1 或 a=- 2 -1(舍去). 同理当 t=2 时,f(a)=2,则 a2+2a-2=0.
解之得 a= 3 -1 或 a=- 3 -1(舍去). 综上可知当 f[f(a)]=3 时,a= 2 -1 或 a= 3 -1.
变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取值范围.
变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.
解:令 t=f(a),则 f(t)=3, 由例 1(2)的解法知 t=1 或 t=2. 当 t=1 时,f(a)=1.由于 x≤-2 时,x+1≤-1, x≥2 时,2x-1≥3. 因此只有-2<a<2 时,能满足 f(a)=1, 即 a2+2a-1=0.
这一问题,本节我们学习分段函数. 导入二 在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比
如:国内跨省市之间的邮寄信函,每封信函的重量和对应邮资如下表:
信函重量 m/g
0<m ≤20
20<m ≤40
40<m ≤60
60<m ≤80
80<m ≤100
邮资M/元 0.80
1.60
2.40
3.20
方法技巧
(1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪
一段,代入该段解析式求解即可.
(2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要
根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍.
(3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.
(4)求解形如f[f(a)]的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求f[f(a)].
4.00
想一想 邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?
0.80, m 0,20,
1.60,
m
20,
40,
(据函数定义知 M 是 m 的函数,其解析式为 M= 2.40, m 40,60, )
3.20, m 60,80,
4.00, m 80,100
知识探究
1.分段函数 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对 应关系,则称这样的函数为分段函数. 探究1:怎样求分段函数的定义域、值域? 答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值 域的并集. 2.映射 设A,B是 非空 的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中 的 任意一个 元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应,那么 就称对应 f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.
x f
5, x
x 2
6, ,x
6
(x∈N*),则
f(3)等于
(
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
A)
2.(分段函数)已
知
f(x)=
1 x, x,1
x x
1, 2,
则
f(x)的定义域为(
C
)
(A)R
(B)(-∞,1]
(C)(-∞,2)
(D)(1,+∞)
3.(映射概念)给出下列四个对应,如图,其中构成映射的是( B )
x2 1, x 1,
第二课时 分段函数与映射
课标要求:1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.2.了解 映射的概念.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入一 某人去上班,由于担心迟到,所以一开始就跑步前进,等跑累
了再走完余下的路程.可以明显地看出,这人距离单位的距离是关于出发
后的时间的函数,想一想,用怎样的解析式表示这一函数关系呢?为解决
解:(1)由-5∈(-∞,-2],- 3 ∈(-2,2),- 5 ∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5+1=-4, 2
f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )=3-2 3 .f(- 5 )=- 5 +1=- 3 ,而-2<- 3 <2,
22
2
2
所以 f(f(- 5 ))=f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )= 9 -3=- 3 .
探究2:函数与映射的关系是什么? 答案:函数是一类特殊的映射,若构成映射的两个集合是非空的数集,则该 映射一定是函数. 探究3:若映射f:A→B,集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C,则B 与C相等吗? 答案:B与C不一定相等,它们之间的关系是C⊆B.
自我检测
1.(分段函数)已
知
f(x)=
2
2
2
24
4
(2)若f(a)=3,求实数a的值; (3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.
解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3. 因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2. (3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1, 即2m-1>3m-5,解得m<4, 又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).
f(x)=
x2
x
2
1, x
x
1, 2, x
1,
则
f(f(-1))的值为
.
答案:4
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 分段函数求值
x 1, x 2,
【例 1】
(2018·山东潍坊一中高一月考)已知函数
f(x)=
x2
2x,
2xຫໍສະໝຸດ 2,2x 1, x 2.
(1)求 f(-5),f(- 3 ),f(f(- 5 ))的值; 2