∂v ∂v ∂v ∂w ∂v ∂u Y = λθ m + G l + m + n +G l + m + n ∂ x ∂ y ∂ z ∂ y ∂ y ∂ y ∂w ∂w ∂v ∂w ∂w ∂u Z = λθ n + G l + m + n+ G l + m + n ∂y ∂z ∂z ∂z ∂x ∂z
3
第五章 弹性力学问题的建立 The Governing Equation of Elasticity
静力(运动)学 变形几何学 本构关系 （物理学）
讨论
建立
弹性力学偏微分 方程的边值问题 问题的解法 解的唯一性 局部影响原理
§5-1 弹性力学问题的微分方程提法 Formulation of Boundary-Value Problems
2
2
2 λ + G ε + G ∇ ui + X i = 0 ( ) kk ,i
( λ + G ) u j , ji + Gui , jj + X i = 0
二、以位移表示的静力边界条件
σ x l + τ yx m + τ zx n = X
X = +G ∂u ∂u λθ l + G + l ∂ x ∂ x ∂v ∂u ∂u ∂w + m + G + n ∂x ∂y ∂z ∂x
∂u ∂u + σ x = λθ + G ∂ x ∂x ∂v ∂u + τ xy = G ∂ x ∂ y ∂w ∂u + τ zx = G ∂ x ∂z
∂u ∂u ∂v ∂w ∂u ∂u X = λθ l + G l + m + n+ G l + m + n ∂y ∂z ∂x ∂x ∂x ∂x
三、求解边值问题的方法
求解15个未知 函 数满足15个偏微 分方程在 数学上 非常困难。
位移法 ——以位移分量 u、v、w 作为基本未
知量。
应力法 ——以应力分量 σx、σy、σz、 τxy、 τyz、
τzx作为基本未知量 。
混合法 ——以部分位移分量和部分应力分量
作为基本未知量 。
§5-2 位移解法 The Displacement Solution Method
Sσ
位移边界条件 ——在位移 边界Su 上处处给 定位移 约束ui ( u , v , w)。 边界条件 : 域内位移场的边界值 应等于给 定边界值。 3个
ui = ui
Su
u = u ,v = v , w = w
Ø有时也可指 定边界位移的 导数值 （例如：转角 为零）或应变值； Ø在静力问题中 所给位移应足 以防止物体的 刚体 运动。
1.定解条件 应力边界条件 ——在力边界Sσ 上处处给 定外部作 用力Xi (X,Y,Z)。 边界条件 : 域内应力场的边界值 应满足 Cauchy公式。 3个
σji nj = Xi
自由表面
Xi = 0
σ x l + τ yx m + τ zx n = X τ xy l + σ y m + τ zy n = Y τ xz l + τ yz m + σ z n = Z
已知函数
∂u = ϕ1 ( x , y , z ) ∂t ∂v = ϕ2 ( x, y,z ) ∂t ∂w = ϕ3 ( x, y,z ) ∂t
已知函数
2.弹性力学边值问题的提法
边值问题 ——在给定的边界条件下 求解偏微分方
程组的问题， 称为偏 微分方程组的 边值问题。
对于已知初始几何形状和材 料性质的物体，在物体内部给定 体力Xi，在力边界 Sσ 上给定面力 Xi，在位移边界 Su 上给定位移 ui，求偏微分方程组在满足边界 条件下的解 ui 、 σij 、 εij 。
3个方程
Navier方程
联系应力与体力
2.几何方程
ε
ij
1 = 2
(u
i,j
+ u
j ,i
)
ε ε ε γ γ γ
x
y
6个方程
∂ = ∂ ∂ = ∂
u x v y
Cauchy方程
联系应变与位移
要求εij 满足 变形协调方程
∂w z = ∂z ∂w ∂v + yz = ∂y ∂z ∂u ∂w + zx = ∂z ∂x ∂v ∂u + xy = ∂x ∂y
平衡方程 (用ui 表示) 边界条件 (用ui 表示) 3个方程 求解 基本未知量 位移分量 ui
1 ε ij = ui , j + u j ,i 2
(
)
代入 几何 方程
3个 未知量
可求得应 力分量 σij
σ ij = 2Gε ij + λε kkδ ij
代入本构方程
可求得应 变分量 εij
一、以位移表示的平衡（ 运动）微分方程 Ø将几何方程 代入物理方程 ：
∂u + ∂ u σ x = λθ + G ∂x ∂ x ∂v ∂ u τ xy = G + ∂ ∂y x ∂w ∂ u + τ zx = G ∂x ∂ z
ε γ γ
x
=
xy
zx
∂u ∂x ∂v ∂u = + ∂x ∂y ∂u ∂w = + ∂z ∂x
σji nj = Xi
in Sσ
Sσ Su
ui = ui
in Su
初始条件 ——对于弹性动力学问题， 给定初始 时刻 t=0 的位移分量和 速度分量。 初始条件 : t=0时
u = f1 ( x , y , z ) v = f2 ( x , y , z ) w = f3 ( x , y , z )
kk
6个 方程
σ ij = 2Gε ij + λε kkδ ij
Θ = ( 3 λ + 2G ) θ σ kk = ( 3 λ + 2G ) ε kk
1 +ν σ E = =
ij
−
ν σ E
kk
δ ij
1 − 2ν Θ E 1 − 2ν σ E
kk
二、微分方程问题的提法 求解弹性力学问题的 目的，在 于求出物体内各 点的 应力和位移， 即应力场、位移 场。 此方程 位移分量 ui 3 个 组有解 基本未知量 应力分量 σij 6个 15个 应变分量 εij 6个 15个未知量 平衡方程 3个 15个方程 几何方程 6个 15个 泛定方程 本构方程 6个 弹性力学的基本方程组一般地控制了物体内 部应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律， 而每一个具体的问题反映在各 自的边界条件上。
∂ σ x ∂ τ yx ∂ τ zx Ø再代入 平衡方程 ： + + + X =0 ∂x ∂y ∂z
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2w ∂ 2u ∂θ λ +G 2 + 2 +G + 2 + G + 2 + X = 0 ∂x ∂x ∂x ∂ x∂ y ∂ y ∂ x∂ z ∂ z
混合边界条件 ——在部分 边界Sσ 上给定外力，部 分边界Su 上给定位移 。 两域之和 总边界 Ø在边界面 S上处处都 应给 定力或位移边界条件 ，如 Sσ U S u = S 有遗漏，则解是不确定 的 ； Ø在 已经给定力（位移） 边 Sσ I Su = ∅ 界条件的地方不能再指 定相 应的位移（力） ,否则无 解。 两域之交 空域 边界条件 :
Lamé方程
X i = λε kk n i + Gu i , j n j + Gu s ,i n s
代入本构方程
Ø当全部边界给 定位移 时，用位移法求解 较为简便； Ø当给定位移一 阶偏导数 (外力)时，有时较难处理。
§5-3 应力解法 The Stress Solution Method
平衡方程 协调方程 (用σij表示) 边界条件 9个方程 不独立 求解
ε
ij ,k l
+ ε
k l ,ij
− ε
ik , jl
− ε
jl ,ik
= 0
6个 方程
2 ∂ 2 γ xy ∂ 2ε x ∂ ε y + = 2 2 ∂y ∂x ∂x ∂y
∂ εy
2
∂z 2
∂ γ yz ∂ εz + = 2 ∂y ∂y∂z
2 2
变形协调方程 （Saint-Venant 方程）
∂ 2ε z ∂ 2ε x ∂ 2 γ zx + = 2 2 ∂x ∂z ∂z∂x ∂ 2ε x ∂ ∂ γ yz ∂ γ zx ∂ γ xy + + − = 2 ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂ 2ε y ∂ ∂ γ zx ∂ γ xy ∂ γ yz + + − = 2 ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂ 2ε z ∂ ∂ γ xy ∂ γ yz ∂ γ zx + + − = 2 ∂z ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y
司 老多媒体教学系列 师
弹性力学
华中科技大学力学系
2014年2月28日
1
司继文
老 司 师
多媒体教学系列
弹性力学 第五章 习题： 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8
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第五章 弹性力学问题的建立