(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在 各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。 以上基本假定将作为问题简化的出发点。
Y 0
Z 0
xy x

y y

zy z
Y 0
xz yz z Z 0 x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回 顾
σ b 0
其中， 是微分算子
x 0 0 0 y 0 0 0 z y x 0 0 z y z 0 x

yz zx
1 z z x y E

称它们为物理方程（广义虎克定律）。
E 1 x x y z 1 1 2 1 1 E 1 y x y z 1 1 2 1 1 E 1 z x y z 1 1 2 1 1 E xy xy 21 E yz yz 21 E zx zx 21
（HookeΒιβλιοθήκη s Law）弹塑性范围 弹性范围 斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
1 x x y z E 1 y y z x E


xy
1 xy G 1 yz G 1 zx G
体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板 的前后表面上没有外力作用。即
h z 时 2
z 0
zx 0
zy 0
y
h
2
y
h
2
o
x
o
z
h
平面应力问题
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 弹性力学基本概念
§2-2 弹性力学的基本方程
§2-3 平面应变和平面应力问题
§2-1 弹性力学基本概念
位 移
回 顾
物体变形后的形状
应 变
物体的变形程度
应 力
物体的受力状态
弹 性 模量 量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
1
对 1 0 0 0 1 2 21 0 0

1 0 0 0
1 2 21 0
称 1 2 21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回 顾
Y、 Z 。设 弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为 X 、 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为 X nx x n y xy nz xz Y nx yx n y y nz yz Z nx zx n y zy nz z
uu
vv ww uu
(在 u 上)
用矩阵形式表示为：
(在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回 顾
平衡微分方程
几何方程 物理方程
σ b 0
ε t u
σ Dε
(在 内)
( 在 内) ( 在 内)
边界条件
nσ t
uu
(在 t 上)
(在 u 上)
§2-2 弹性力学基本方程
回 顾
b
zx
zx zy xz xz zy
c
b’
a
c’
yz
yz
xy
yx yx
d
a’
xy
d’ a’
1.平衡微分方程 由力平衡条件
回 顾
X 0
有
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z x yx zx X 0 化简得到 x y z
不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
生在与坐标面xoy平行的平面内。
平面应变问题
zx 0 代入物理方程 将 yz 0，
yz
zx
E yz 21
E zx 21
得
yz 0
zx 0
1 z z x y E
T
式中，b是体积力向量，b [ X Y Z ]
回 顾
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0 x y
xy x y y Y 0
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
B1 θ
θ1
A1
2
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
u x x
xy
v u x y
v y y
w z z
yz
w v y z
u w z x
zx
回 顾
几何方程式的矩阵形式为
ε t u
其中 t 为微分算子 的转置
x 0 0 t y 0 z
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy 三个。
平面应力问题
对于具有如下特征的构件，可作为平面应力
问题处理。
(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z 轴方向) 远小
于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；
(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面 没有外力，体积力垂直于z轴； (3) 由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力 都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。
平面应变问题
对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待： (1) 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方 向)尺寸；
(2) 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同；
(3) 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没 有变化；
(4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题 任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、
应变和位移必然是三向的。一般说来，
它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。
当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐
0 y 0 x z 0
0 0 z T 0 y x
3.物理方程：应力-应变的关系 由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状 态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关 系，即 σx = Eεx
Y
这就是虎克定律。 应力



得
1 1 x y x E 1 1 y x y E 1 21 xy xy xy G E



平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
E (1 ) x x y (1 )(1 2 ) 1 E (1 ) y x y (1 )(1 2 ) 1 E E (1 ) 1 2 xy xy 2(1 ) (1 )(1 2 ) 2(1 )
u u v x 1 x, y , xy 2 x, y x y x v v w y 3 x, y , yz 0 y z y w u w z 0, zx 0 z z x
将 z 0 代入物理方程 得


z x y
在z轴方向没有应变，但其应力 σz并不为零。
平面应变问题
将 z x y 代入物理方程
1 x x y z E 1 y y z x E
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问 题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水 （油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴 的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y y
o z y z
o
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位
移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平
标（如x、y）的函数。平面问题可以进而
分为平面应变问题和平面应力问题两大类。
平面应变问题
设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于
横向（x，y）尺寸，且
与纵轴垂直的各截面都
相同；受到垂直于纵轴
但不沿长度变化的外力 （包括体积力X、Y，
同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿
长度变化。
平面应变问题
其矩阵表达式为
其中，面积力向量
t nσ
n x n0 0 0 ny 0 0 0 nz ny nx 0 0 nz ny
(在
t 上)
t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为