a1(t＋t0)2＝
1 2
a2t2＋85
m，将上式代入数据并整理得：t2－12t＋32＝0，
解得：t1＝4 s，t2＝8 s，t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追 上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再次相遇．
(2)第一次相遇地点距A的距离：x1＝12a1(t1＋t0)2＝125 m，
第二次相遇地点距A的距离：x2＝12a1(t2＋t0)2＝245 m.
时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关 系．
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二、解决追及和相遇问题的常用方法 物理分析法：从速度相等这一临界条件入手，应用运动
规律，建立位移关系式． 数学函数法：根据位移关系列出二元一次方程，根据方
程的解判断能否相遇或相遇几次，求出相应物理量． 图像法；利用 v－t 图像的“面积”，分析位移关系．
(1)两辆汽车再经过多长时间相遇； (2)两辆汽车相遇处距A处的距离．
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【答案】 (1)4 s 8 s (2)125 m 245 m 【解析】 (1)甲车运动6 s的位移为x0＝12a1t02＝45 m，此时 甲车尚未追上乙车．
设此后经过时间t与乙车相遇，则有
1 2
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(2)假设两车的速度相等，即 v1－a1t＝v2＋a2(t－t0) 轿车前进的距离x1′＝v1t－12a1t2 货车前进的距离x2′＝v2t0＋v2(t－t0)＋12a2(t－t0)2 得x1′＝8900 m，x2′＝6905 m， 因x1′－x2′＝21.7 m<x0，两车不会相撞．
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刹车中的追及和相遇问题 例3 受台风影响多地暴雨，严重影响了道路交通安全．某 高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度 大小分别为v1＝40 m/s，v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，若此时轿车立即刹车，则轿车要经过x ＝160 m才停下来．两车可视为质点．
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【解析】 运动示意图：
方法一：(分析法) (1)当汽车的速度为v＝6 m/s时，二者相距最远，所用时间 为t＝va＝2 s 最远距离为Δs＝v0t－12at2＝6 m.
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(2)两车距离最近时有v0t＝12at2， 解得t＝4 s， 汽车的速度为v＝at＝12 m/s.
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方法提炼 1．物理分析法：求追及问题中的极值，一般从“速度相 等”入手，有两种情况： (1)当后车比前车运动快时，两车距离减小，速度相等时距 离最小． (2)当后车比前车运动慢时，两车距离增大，速度相等时距 离最大．
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2．数学函数法： (1)根据两位移差随时间变化的关系式，求二次函数的极 值，即两车最近或最远距离． (2)根据位移关系方程，由二次方程的判别式，判断是一个 解、两个解还是无解，确定相遇次数． 3．图像法： 根据v-t图线下方“面积”，计算两车位移差，结合初始距 离判断情况．
得t＝4 s，汽车的速度为v＝at＝12 m/s.
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例2 (2017·广东联考)如图所示，直线MN表示一条平直公 路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速 度a2＝5 m/s2，求：
【答案】 (1)两车会相撞 (2)两车不会相撞 【解析】 (1)轿车经过x＝160 m的过程，由v12＝2a1x 得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2 恰好不相撞时两车的速度相等，即v1－a1t1＝v2 得t1＝v1－a1v2＝3 s 轿车前进的距离x1＝v1＋2 v2t1＝97.5 m 货车前进的距离x2＝v2t1＝75 m， 因x1－x2＝22.5 m>x0，两车会相撞．
三、解决追及和相遇问题的基本思路 分析物体 画运动 找两物体 运动过程 ―→ 示意图 ―→ 位移关系 ―→ 列位移方程
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题型透析
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追及和相遇问题中的极值与多解 例1 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0＝6 m/s的 速度匀速驶来，从后边超过汽车，求： (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两 车相距最远？最远距离是多大？ (2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度．
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(1)若轿车刹车时货车以v2匀速行驶，通过计算分析两车是 否会相撞？
(2)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t0＝2 s 收到信号后立即以加速度大小a2＝2.5 m/s2匀加速前进，通过计 算分析两车会不会相撞？
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方法二：(图像法)
(1)汽车和自行车的v-t图像如图所示，由图像可得t＝2 s时，
二者相距最远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs＝
1 2
×6×2 m＝6 m.
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(2)两车距离最近时，即两个v-t图线下方面积相等时，由图 像得此时汽车的速度为v＝12 m/s.
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方法三：(函数法)
(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为：Δs＝v0t－12at2
因二次项系数小于＝2
s时有最大
值，最大值Δsm＝v0t－12at2＝6×2 m－12×3×22 m＝6 m.
(2)当Δs＝v0t－12at2＝0时相遇，
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1.5 追及和相遇运动专题
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专题综述
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一、解决追及和相遇问题的三个关系 速度关系：在追及问题中，当两者速度相等时，两物体
相距最远或最近．这是列关系式的切入点，也是判断能否追上的 依据．
位移关系：根据两物体初始运动的距离，画出运动示意 图，建立位移关系．