【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学 习 目 标 1.了解平面直角坐标系的构成，领会坐标法的应用． 2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换． 3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题.
课 前 预 习 1.平面直角坐标系 (1) 平面直角坐标系的作用：通过直角坐标系，使平面上的 ________与坐标(有序实数对)，曲线与________建立联系，从而实 现数与形的结合． (2)坐标法：根据几何对象的 ________，选择适当的坐标系， 建立它的方程， 通过________研究它的性质及与其他几何图形的关 系．
解
1 x′＝ x， 2 由坐标伸缩变换 y′＝4y
x＝2x′， 得到 1 ① y＝4y′. 1 (1)将①代入 x＋y＋2＝0 得 2x′＋4y′＋2＝0. 由此可得经伸缩变换后的图形的方程为 8x′＋y′＋8＝0.
(2)将①代入 x ＋y ＝1 得(2x′)
2
2
思考探究 2 伸缩变换公式中 λ，μ 的大小与横向和纵向的伸 缩变换有何关系？ 提示 在平面直角坐标系中，变换 φ 将点 P(x，y)变换到点
P′(x′，y′)． 当 λ>1 时，是横向拉伸变换，当 0<λ<1 时，是横向压缩变换； 当 μ>1 时，是纵向拉伸变换，当 0<μ<1 时，是纵向压缩变换.
由题意知 A(4，－5)在抛物线 x2＝－2py(p>0)上， 16 ∴16＝－2p(－5)，2p＝ . 5 16 ∴抛物线方程为 x ＝－ 5 y(－4≤x≤4)．
2
设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B′，B 时船开始 不能通航，设 B(2，y)， 16 5 由 4＝－ y，得 y＝－ . 5 4
变式训练 3 在平面直角坐标中，求下列方程对应的图形经过 1 x′＝ x， 2 伸缩变换 后的方程． y′＝4y (1)x＋y＋2＝0. (2)x2＋y2＝1. (3)y2＝2x.
变式训练 3 在平面直角坐标中，求下列方程对应的图形经过 1 x′＝ x， 2 伸缩变换 后的方程． y′＝4y (1)x＋y＋2＝0. (2)x2＋y2＝1. (3)y2＝2x.
a＋b c b＋d a 于是，各边中点的坐标分别为：E( ，0)，F( ， )，G( ， 2 2 2 2 c＋e a＋d e d e b c )，H( ， )，M( ， )，N( ， )． 2 2 2 2 2 2 2 a＋b＋d 由中点坐标公式求得 EG，FH，MN 的中点坐标都是( 4 ， c＋e 4 )． 三中点坐标完全相同，说明三线 GE，FH，MN 均相交于此点， 且互相平分．
确定点的位置或确定点的轨迹来解决．
变式训练 1 某河上有座抛物线形拱桥， 当水面距拱顶 5 m 时， 水面宽为 8 m，一木船宽 4 m，高 2 m，载货后木船露出水面部分 3 高为4 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
解
以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为 y 轴，建立如图
所示坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)．
2
1 ＋4y′2＝1，
x′2 y′2 由此得经过伸缩变换后的图形的方程为 ＋ ＝1. 1 16 4 (3)将①代入 y ＝2x
2
1 得4y′2＝2×2x′.
由此得经过伸缩变换后的图形的方程为 y′2＝64x′.
【解】
x x′＝λ· 设变换为 y y′＝μ·
λ>0， 将其代入 x′2＋y′2＝ μ>0，
1，有 λ2x2＋μ2y2＝1. 4 2 9 2 又 4x ＋9y ＝36 可化为36x ＋36y ＝1，
2 2
1 2 1 2 即9x ＋4y ＝1. 1 1 2 与 λ x ＋μ y ＝1 比较，得 λ ＝ ，μ ＝ ， 9 4
③列出方程，即用 x，y 表示上述等量关系，将几何问题转化 成代数问题； ④化简上述方程为最简形式； ⑤验证所得方程与曲线是否满足一一对应关系．
3．伸缩变换的应用 设 P(x，y)是变换前图形 f(x，y)＝0 上点的坐标，P′(x′，y′) 是变换后 P
x x′＝λ· 点对应点的坐标．在伸缩变换 y y′＝μ·
λ>0， μ>0
思考探究 1 我们知道数轴上的点和实数是一一对应的关系， 平面直角坐标系中的点和有序实数对(x，y)之间是否也具有一一对 应关系？ 提示 在平面直角坐标系中，点 P 与有序实数对(x，y)具有一 一对应关系．也就是说，如果给定一点 P，就有唯一的(x，y)与该 点对应；反过来，如果给定(x，y)，就有唯一的点 P 与之对应．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典 例 剖 析 【例 1】 已知 B 村位于 A 村的正西 1 千米处，原计划经过 B 村沿着北偏东 60° 的方向埋设一条地下管线 m，但在 A 村的西北方 向 400 米处，发现一古代文物遗址 W.根据初步勘察的结果，文物 管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区，试问：埋设地下管 线 m 的计划需要修改吗？
规律技巧
恰当的建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，
可避免繁琐的推理论证．
变式训练 2 在△ABC 中，OA 是 BC 边上的中线，求证：|AB|2 ＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
证明
取 BC 边所在直线为 x 轴，线段 BC 的中点 O 为原点建
立直角坐标系．如图所示，设点 A 的坐标为(b，c)，点 C 的坐标为 (a,0)，则点 B 的坐标为(－a,0)，
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2， |AO|2＝b2＋c2，|OC|2＝a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)． 又|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
【例 3】 求满足下面图形变换的伸缩变换：由曲线 4x2＋9y2 ＝36 变成曲线 x′2＋y′2＝1.
W(－200 2，200 2)，由直线 m 过点 B 且倾斜角为 90° －60° ＝30° ，得直线 m 的方程为 x－ 3y＋1 000＝0. 于是点 W 到直线 m 的距离为 |－200 2－ 3×200 2＋1 000| 2 6)≈113.6>100. 所以，埋设地下管线 m 的计划可以不修改． 规律技巧 很多实际问题都可以通过建立适当的坐标系， 通过 ＝ 100(5 － 2 －
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面角直角坐标系中的任意一点，在变换 φ： ________的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平 面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
自 我 校 对
1.点 方程 特征 方程
x x′＝λ· 2. y y′＝μ·
名 师 点 拨 1.建立直角坐标系的规律技巧 坐标系的建立，直接影响到方程的繁简，因此，在建立直角坐 标系的过程中，要尽量研究所给图形的对称性，若是轴对称图形， 一般选取对称轴为坐标轴；若是中心对称图形，一般以对称中心为 原点；若存在两条互相垂直的直线，一般以这两条直线为坐标轴．
总之，在建立直角坐标系时，原则上是使尽可能多的点在坐标 轴上，有对称的尽可能使它们关于坐标轴或原点对称．在解题时， 注意不断归纳总结，积累经验方法，针对题设条件建立恰当的坐标 系，使运算简便，求得的方程形式简单．
λ>0， 下， μ>0
若已知 P 点坐标(x，y)，则变换后所对应点 P′的坐标为(λx，μy)；
1 1 反之， 若已知 P′的坐标为(x′， y′)， 则 P 点的坐标为 λ x′，μy′.
故将 x′＝λx，y′＝μy 代入变换后的曲线方程，可求变换前的方
1 1 程；将 x＝ x′，y＝ y′代入变换前的方程，可求变换后的曲线方 λ μ 程，利用这个思想，我们也可以根据变换前、变换后的曲线方程， 求出其相应的伸缩变换．所以，伸缩变换前的曲线方程、伸缩变换 后的曲线方程、伸缩变换三者，知道其中的两个，我们可以求第三 个.