99.74%
μ
6σ
可以看到,正态总体几乎总取值于区间
μ 3α,μ 3α 之内.而在此区间以外取
值的概率只有0.0026,通常认为这种情 况在一次试验中几乎不可能发生.
在实际应用中,通常认为服从于正态分
布Nμ,σ2 的随机变量X只取(μ 3σ,μ
3σ) 之间的值,并简称之为3σ原则.
2.4 正态分布
温故知新：
1．在频率分布直方图中，纵坐标的含义是 频率 _组__距__，用小矩形的_面__积_表示数据落在该组中 的频率，在折线图中，随着分组越来越多，
其越来越接近于一条__光__滑__的__曲__线．
2．若函数 f(x)＞0，则bf(x)dx 的几何意义 a
是 y＝f(x)的图象与 x＝a，x＝b 及 x 轴所围 成的曲边梯形的面积．
2
x (,)
μ= -1
y σ=0.5
y
μ=0 σ=1
y μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
知识运用：
例1、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是
早在1733年,法国数学家棣莫弗就用n!的近似公式得 到 了 正 态 分 布.之 后, 德 国 数 学 家 高 斯 在 研 究测 量 误 差 时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人 们也称正态分布为高斯分布.
所以,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实 际之中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
在 现 实 生 活 中, 很 多 随 机 变 量 都 服 从 或近 似 地 服 从 正 态分布.例如长度测量误差;某一地区同年龄人群的身 高、体重、肺活量等;一定条件下生长的小麦的株高、 穗长、单位面积产量等;正常生产条件下各种产品(如 零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子 管的使用寿命等);某地每年七月份的平均气温、平均 湿度、降雨量等.一般都服从正态分布.
图.在一块木板上钉上若干 排相
互平行但相互错开的圆柱 形小
木块,小木块之间留有适当的 空
隙作为通道,前面挡有一块玻璃.
让一个小球从高尔顿板 上方的
通道口落下,小球在下落过 程中
图2.4 1
与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方 的某一球槽内.
如果把球槽编号,就可以考察到底是落在第几号球槽
中.重 复 进 行 高 尔 顿 板 试 验,随 着 试 验 次 数 的 增 加, 掉 入
一般地,如果对 于任何实数a b,随机变 量X满足
Pa X b b φμ,σ xdx, a
则称X的分布 为正态分布(normal distribution).正 态 分 布 完 全 由 参 数μ和σ 确 定,因 此 正 态 分 布 常
记作Nμ,σ2 .如果随机变量X服从正态分布,则记 为X ~ Nμ,σ2 .
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
因 为 正 态 分 布 完 全 由μ和 σ 确定 ,所以可以通过研究μ 和 σ 对正态曲线的影响,来 认识正态曲线的特点.不妨 先 固 定σ值, 作 出μ取 不 同 值 的图象(图2.4 5(1)); 再固定 μ 值,作出σ取不同值的图象 (图2.4 5(2)).
由 上 述 过 程 还 可 以 发 现正 态
【解】 (1)由于该正态分布的概率密度
函数是一个偶函数，所以其图象关于 y
轴对称，即 μ＝0.
由
1＝ 2πσ
1 ，得 2π·4
σ＝4.
故该正态分布的概率密度函数的解析式
是
φμ，σ(x)＝4 12πe－3x22 ，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－ 4<X≤4)＝ P(0－ 4<X≤0＋ 4)＝
P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.
y
思考 观 察
图 2.4 4,结
合 φμ,σ x的
o
图2.4 4
x
解析式及概 可以发现,正态曲线有如下特点:
率的性质,你 1曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
能说 说正态 曲线的特点 吗?
2曲 线 是单 峰 的,它 关 于直 线x μ
对 称;
3曲线在x μ处达到峰值;
" 瘦 高", 表 示 总 体 的 分 布 越 集 中;σ越 大,曲 线 越" 矮
胖" , 表 示 总 体 的 分 布 越 分 散.
进一步,若X ~ Nμ,σ2 ,则对任何实数a 0,概率
Pμ a X μ a
μa
φ μa μ,σ x dx
为图2.4 6中阴影部分的面积,对于固定的μ和 a 而言, 该面积随着σ 的减少而变大.这说明σ 越小, X落在区间 (μ a,μ a]的概率越大,即X集中在μ周围概率越大. 特别有
例3 设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)． 【思路点拨】 首先确定μ＝1，σ＝2，然后 根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特 点求解． 【解】 因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
频率 组距
25.235 25.295 25.355
25.415
产品 尺寸 （mm)
25.475 25.535
6.
样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
7.
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
新知传授：
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 1
所示的就是一块高尔顿 板示意
多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的 成绩X~(100, 52 )，据此估计，大约应有57人的分
数在下列哪个区间内？（ C）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
正态总体的函数表示式
f (x)
1
e
( x )2 2 2
2
当μ= 0，σ=1时
x (,)
标准正态总体的函数表示式
x2
f (x)
1
e22x ( Nhomakorabea)正态总体的函数表示式
f (x)
1
e
(x )2 2 2
2
x (,)
（1）当x = μ 时,函数值为最大.
(2)因为 P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)， 所以 P(3＜X≤5) ＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)] ＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]
＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359.
x
这条曲线就是(或近似地)下列函数的图象:
φμ,σ x
1
e
xμ2
2σ2
,x

, ,
其中实数μ和2σπσσ 0为参数.我们称φμ,σ x的
图象为正态分布密度曲线 ,简称正态曲线.
如果去掉高尔顿板试验 y 中最下边的球槽,并沿其
底部建立一个水平坐标
轴,其刻度单位为球槽的
例2 若一个正态分布的概率密度函数 是一个偶函数，且该函数的最大值为
1 4 2π . (1)求该正态分布的概率密度函数的解 析式； (2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
【思路点拨】 要确定一个正态分布的概率 密度函数的解析式，关键是求解析式中的两 个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴 的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2
y
μ=0 σ=1
(3) f (x) 的图象关于 x =μ 对称. -3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数.
当x∈（μ，+∞） 时f (x)为减函数. 标准正态曲线
2 正态曲线 f (x)
1
e
( x )2 2 2
【思维总结】 (1)充分利用正态曲线的对称 性和曲线与x轴之间面积为1；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关 于x＝μ对称的区间上概率相等．
3．对于X～B(η，p)，则E(X)＝___n，p D(X)＝ ____n_p_(1_－_，p)当n＝1时，是___两_分点布．
4.
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
25.235 25.295 25.355
25.415
产品 尺寸 （mm)
25.475 25.535
5.
200个产品尺寸的频率分布直方图
Pμ σ X μ σ 0.6826, Pμ 2σ X μ 2σ 0.9544, Pμ 3σ X μ 3σ 0.9974,
上述结果可用图2.4 7表示
μa μ μa
图2.4 6
68.26%
μ
2σ
95.44%
μ
4σ
图2.4 7
曲 线 的 下 述 特 点: