普通高中课程标准实验教科书g 数学（人教A 版）选修 2-32.4 正态分布设计教师：高二数学组一、教学目标及其解析 （一）教学目标：1.通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． 2．了解正态曲线的基本特点．3．了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． （二）解析：正态分布在统计中是很常见的分布，它能刻画很多随机现象。

从生活实践入手，描绘频率直方图，进而理解正态曲线，结合定积分的有关知识理解其概率分布列，结合图象认识参数μ，σ的几何意义．提高学生用数学知识分析现实问题的能力．善于从复杂多变的现象中发现问题的实质，提高识别能力.二、教学重难点解析 （一）重点、难点：重点：了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． 难点：通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布．（二）解析：正态分布密度函数的推导是十分困难的，一般教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间是不理解正态分布的实际含义。

可以通过直观方法引入正态分布密度曲线，也可以用样本平均值和样本标准差来估计，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系，单峰性，对称性，峰值的位置环境等。

三、教学过程设计问题1.什么是正态曲线？问题2.什么是正态分布?正态分布又有哪些特点？例1.如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机总量的均值和方差．[解] 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20， 12πσ＝12π， ∴σ＝ 2.于是φμ，σ(x )＝12π·e－(x －20)24，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.方法归纳本题主要考查正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：1.对称轴方程x ＝μ；2.最值1σ2π.这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x )中便可求出相应的解析式．变式训练1.如图，曲线C 1：f (x )＝12πσ21e -(x －μ)22σ2(x ∈R )，曲线C 2：φ(x )＝12πσ2e －(x －μ)2 2σ2(x ∈R )，则( )A ．μ1<μ2B ．曲线C 1与x 轴相交 C ．σ1>σ2D ．曲线C 1，C 2分别与x 轴所夹的面积相等解析：选D.由正态曲线的特点易知μ1>μ2，σ1<σ2，曲线C 1，C 2分别与x 轴所夹面积相等，故选D.例2.设X ～N (1,22)，试求：(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)．[解] 因为X ～N (1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5) ＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 方法归纳对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； (2)P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)；(3)P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )． 变式训练2.在某项测量中，测量结果服从正态分布N (1,4)，求正态总体X 在区间(－1,1)内取值的概率．解：∵由题意知μ＝1，σ＝2，∴P (－1<X ≤3)＝P (1－2<X ≤1＋2)＝0.682 6.又∵密度函数关于直线x ＝1对称，∴P (－1<X <1)＝P (1<X <3)＝12P (－1<X <3)＝0.341 3.例3.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70,102)，如果规定低于60分的学生为不及格学生．(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90之间的学生占多少？[解] (1)设学生的得分情况为随机变量X ， 则X ～N (70,102)，其中μ＝70，σ＝10.在60到80之间的学生占的比为P (70－10<X ≤70＋10)＝0.682 6＝68.26%，∴不及格的学生所占的比为12×(1－0.682 6)＝0.158 7＝15.87%.(2)成绩在80到90之间的学生所占的比为 12×[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)－P (70－10<X ≤70＋10)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝13.59%.方法归纳运用3σ原则时，关键是将给定的区间转化为用μ再加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率其所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再求其对称区间概率的一半解决问题．变式训练3.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布X ～N (50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．解：∵X ～N (50,102)， ∴μ＝50，σ＝10.∴P (30＜X ≤60)＝P (30＜X ≤50)＋P (50＜X ≤60) ＝12P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＋12P (μ－σ＜X ≤μ＋σ) ＝12×0.954 4＋12×0.682 6＝0.818 5. 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.例4.(1)如图为σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>1>σ2>σ3>0B ．0<σ1<σ2<1<σ3C ．σ1>σ2>1>σ3>0D ．0<σ1<σ2＝1<σ3[解析] 当μ＝0，σ＝1时，正态分布密度函数f (x )＝12πe －x22，x ∈(－∞，＋∞)，当x ＝0时，取得最大值12π，所以σ2＝1.由正态曲线的特点知：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.[答案] D(2)把一条正态曲线C 沿着x 轴正方向移动2个单位，得到一条新的曲线C ′，下列说法不正确的是( )A ．曲线C ′仍然是正态曲线B ．曲线C 和曲线C ′的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C ′为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C 为概率密度曲线的总体的方差大2D ．以曲线C ′为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C 为概率密度曲线的总体的均值大2[解析] 在正态曲线沿着x 轴方向水平移动的过程中σ始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标⎝⎛⎭⎫即正态分布密度函数的最大值1σ2π和方差σ2没有变化．设曲线C 的对称轴为x ＝m ，那么曲线C ′的对称轴为x ＝m ＋2，说明均值从m 变到了m ＋2，增大了2.[答案] C(3)已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个曲线中的μ值为________．[解析] 正态总体的数据落在这两个区间内的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等；又两个区间的长度相等，所以正态曲线在这两个区间上是对称的．易知区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，因此μ＝1.[答案] 1[名师点评] (1)正态曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π及当μ一定时，曲线的形状由σ确定这两条性质．根据题设中的图象，数形结合易得到结论．(2)理解正态分布的实质，由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线及x 轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X 落在区间(a ，b )的概率的近似值，以及正态曲线的对称性．应注意的是，如果两个区间的长度不相等，就不能根据这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等得出正态曲线在这两个区间上是对称的.例5.已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5[解析] 由于X 服从正态分布N (3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P (2≤X ≤4)2＝0.158 7.[答案] B[感悟提高] 化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用．本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据P (X >4)＋P (X <2)＋P (2≤X ≤4)＝1将问题转化．四．目标检测1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )(2)正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( ) (3)正态曲线可以关于y 轴对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．下列函数是正态分布密度函数的是( )A ．f (x )＝12πσe (x －μ)22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数B ．f (x )＝2π2π·e －x22C ．f (x )＝122πe(x －1)2σD ．f (x )＝12πe x22 解析：选B.f (x )＝2π2π·e －x22＝12πe －x22.3．设X ～N (μ，σ2)，当X 在(1,3]内取值的概率与在(5,7]内取值的概率相等时，μ＝________. 解析：根据正态曲线的对称性知μ＝4. 答案：44．如何求服从正态分布的随机变量X 在某区间内取值的概率？解：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在x ＝μ对称的区间上概率相等求得结果．五．课堂小结 六．课后作业：[学业水平训练]1．(2014·东营检测)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2.故选B.2．设随机变量X ～N (1,32)，则D (13X )等于( )A ．9B ．3C ．1 D.13解析：选C.∵X ～N (1,32)，∴D (X )＝9.∴D (13X )＝19D (X )＝1.3．(2014·沈阳高二检测)设随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2p D.12－p解析：选D.如图，P (ξ>1)表示x 轴、x >1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x 轴、x <－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p ，所以P (－1<ξ<0)＝1－2p 2＝12－p .4．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D.∵P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997 4.∴P (X >μ＋3σ或X <μ－3σ)＝1－P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．5．设正态总体落在区间(－∞，－1)和区间(3，＋∞)的概率相等，落在区间(－2,4)内的概率为99.7%，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为( )A ．(1，12π) B ．(1，2)C ．(12π，1) D ．(1,1)解析：选A.正态总体落在区间(－∞，－1)和(3，＋∞)的概率相等，说明正态曲线关于x ＝1对称，所以μ＝1.又在区间(－2,4)内的概率为99.7%， ∴1－3σ＝－2,1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴f (x )＝12πe －(x －1)22，x ∈R ，∴最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，12π.6．(2014·临沂一中检测)如图是三个正态分布X ～N (0，0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：① ② ③7．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.解析：由于随机变量X ～N (μ，σ2)，其中概率密度函数关于x ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.答案：128．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得P (ξ>2)＝12×[1－2P (0<ξ<1)]＝12×(1－0.8)＝0.1.答案：0.19．设X ～N (5,1)，求P (6<X ≤7)．解：由已知得P (4<X ≤6)＝0.682 6P (3<X ≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x ＝5对称， ∴P (3<X ≤4)＋P (6<X ≤7)＝0.954 4－0.682 6 ＝0.271 8.由对称性知P (3<X ≤4)＝P (6<X ≤7)，所以P (6<X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9.10．商场经营的某种包装的大米质量X 服从正态分布N (10,0.12)(单位：kg)，任取一袋大米，质量在10 kg ～10.2 kg 的概率是多少？解：∵X ～N (10,0.12)， ∴μ＝10，σ＝0.1.∴P (9.8<X ≤10.2)＝P (10－2×0.1<X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4. 又∵正态曲线关于直线x ＝10对称，∴P (10<X ≤10.2)＝12P (9.8<X ≤10.2)＝0.477 2，∴质量在10 kg ～10.2 kg 的概率为0.477 2.。