22 14
12
2 2
22
2 1
21 212
65
2
4211
22 22
22 14
12
4 3
13
第二章 多元正态分布及参数的估计
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
解三:两次配方法
(1)第一次配方: 2x12 2x1x2 x22 (x1 x2 )2 x12
2
]
g( y1, y2 )
设函数 g( y1, y2 ) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
Y
YY12
~
N2
7 4
,
I2
(4) 由于
X
X X
1 2
0 1
11
Y1 Y2
CY
0 1
11 74
34
,
0 1
11
I
2
0 1
11
1 1
2 2
X 2 ~ N (3,2).
10
第二章 多元正态分布及参数的估计
12 Cov( X1, X 2 ) E[( X1 E( X1))( X 2 E( X 2 )]
E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21
x1 x2
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
f(x;μ,Σ)= a
是一个椭球面.
(2)
当p=2且
2
1
1
(ρ>0)时，
概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆
的方程式，长轴和短轴.
证明(1):任给a＞0,记
X1
1
18
第二章 多元正态分布及参数的估计
P{Y 0} P{X1 1或X1 1} P{X1 1} P{X1 1} (X1 ~ N(0,1)) 2(1) 0.3174 0
若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
f (x; , ) a
a0 (2 ) p/ 2 |
(x )1
|1/ 2 ,当0 a
(x )
1
ba02
时,
其中 b2 2 ln[a(2 ) p/ 2 | |1/ 2 ] 2 ln[aa0 ] 0, 20
第二章 多元正态分布及参数的估计
因 0,的特征值记为1 2 p 0, i对应
1
11
2 1
1
11
0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y
YY12
X1 X1
X2 X2
11
11
X1 X2
CX
则 Y ~ N2 (C,CC)
因ΣY
CC
11
11
2
1
1
11
11
2
11
1111
11
2
2(1 0
)
0 2(1
)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
P{X 2 x} P{X 2 1} P{1 X 2 x} P{X1 1} P{x X1 1} P{X1 1} P{1 X1 x} P{X1 x} (x)
X 2 ~ N (0,1).
(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有
Y
X1
X2
X 0
1
X1,
当-1 其它
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
I I
p p
Ip I
p
X X
(1) (2)
CX
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y ~ N2 p (C,CC)
因D(Y
)
CD(
X
)C
I I
p p
Ip I
p
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
1 1
2 2
1 2
2 1
I I
p p
Ip I
p
2(1 O
21
故
X
CY
~
N2
4 3
,
1 1
21
E(
X
)
34 ,
D(
X
)
1 1
21
16
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-12
设X1
~N(0,1),令
X2
X
X 1,
1
,
当-1 其它.
X1 1,
(1)证明X2 ~N(0,1);
(2)证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
证明(1):任给x,当x≤-1时
X
X X
(1) (2)
~
N2 p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立.
(2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
Y
22
第二章 多元正态分布及参数的估计
λi (i=1,2)对应的特征向量为 1
1
l1
2 1 2
l1
2 1 2
由(1)可得椭圆方程为 y12 2 (1 )b2
2
y22
(1
)b
2
1
其中 b2 2ln[a(2 ) | |1/2 ] 2ln[2 2 1 2 a],
长轴半径为 d1 b 1 , 方向沿着l1方向(b>0); 短轴半径为d2 b 1 , 方向沿着l2方向.
1 2
,
2
1
1
.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
Cov(Y1,Y2 )
1
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X1 X1
X2 X2
~
N2
1 1
2 2
,
2
2(1 0
)
0 2(1
)
X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )); X1 X 2 ~ N (1 2,2 2 (1 )).
5
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
y12 y22 22y2 14( y1 y2 ) 65
y12 14y1 49 y22 8y2 16
( y1 7)2 ( y2 4)2
2即1 e 21 e
1 2
(
2
x12
x22
2
x1
x2
22
x1
14
x2
65)
x1 x2
y2 y1
y2
1[( 2
y1
7
)2
(
y2
4
)
f1(x1)
f
(x1, x2 )dx2Biblioteka 1 2e e dx
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x1x2
14
x2
)
2
1
1 2
(
2
x12
22
x1
65)
1 2
(
x22
2
x2
(
x1
7)(
x1
7)2
)
e e dx e 2
2
1 2
(
x1
7
)2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1
1 2
(
P{X 2 x} P{X1 x} (x)
当x≥1时, P{X 2 x}
P{X 2 1} P{1 X 2 1} P{1 X 2 x}
P{X1 1} P{1 X1 1} P{1 X1 x}
P{X1 x} (x) 17
第二章 多元正态分布及参数的估计
当-1≤x≤1时,
2
)
O
2(1
2
)
由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相
互独立.
7
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y
X X
(1) (1)
X X
(2) (2)
~
N2 p
(1) (1)
(2) (2)
,
2(1 O
2)
O 2(1
2
)
所以 X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )); X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )).
x22
2x1x2
22x1