第三节 洛伦兹因数
第四节 影响衍射强度的其他因数 第五节 多晶体衍射的积分强度公式
2
第一节 多晶体衍射图相的形成
以德拜-谢乐法为例，该法以单 色X射线照射多晶试样，用条 形底片记录。 微晶体中满足布拉格方程的d 晶面，在空间排列成以入射线 为轴、2为顶角的圆锥面； 衍射线构成顶角为4 圆锥面， 见图3-1
16
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算 5. 有序固溶体 某些固溶体发生有序化转变后，不同原子将占据单胞中 特定位臵，将导致衍射线分布随之改变 AuCu3无序-有序转变是一个典型的例子。 在395℃以上AuCu3是无序固溶体，每个原子位臵上发现 Au和Cu的几率分别为0.25和0.75，这个原子的平均原子散射
因数f平均=0.25fAu+0.75fCu。无序态时，AuCu3遵循面心点阵
消光规律。
17
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算 5. 有序固溶体 在395℃以下, AuCu3便是有序态，此时Au原子占据晶胞顶 角位臵，Cu原子则占据面心位臵。 Au原子坐标(000)，
Cu原子坐标， （0,1/2,1/2）、（1/2,0,1/2)、（1/2,1/2,0） ，
结果：当H, K, L为异性数时，FHKL2 (fAufCu)2 0 当H, K, L为同性数时，FHKL2 (fAu+3fCu)2 固溶体出现有序化后，使无序固溶体因结构消光而失去的衍 射 线重新出现，这些被称为超点阵衍射线。根据超点阵线条的出 现及其强度可判断有序化的出现与否并测定有序度。
in j 1
n
i j
9
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
一、结构因数公式的推导 引入一个反映单胞散射能力的参数—结构振幅 FHKL，即
FHKL Ab Ae f j e
j 1 n i j
(3-1)
将复数展开成三角函数形式，
FHKL f j cos2π Hx j Ky j L j i sin Hx j Ky j L j
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵结构因数计算
3. 面心点阵(同类原子组成)
单胞中有4个原子，坐标分别为(0,0,0)、 (0,1/2,1/2)、 (1/2, 0,1/2)、 (1/2,1/2, 0)，原子散射因数均为 f FHKL2 = f 2 [1+cos(K+L)+cos(H+K)+cos(H+L)]2 1)当H,K,L为奇偶混合时，FHKL2 = 0，衍射强度为零，如 (100)、(110)、(210)、(211)、(300) 2)当H,K,L为全奇或全偶数时， FHKL2 = 16f 2， 能产生衍射， 如(111)、(200)、(220)、(311)、(222) ，这些干涉面指数 (HKL)平方和之比为， N1 : N2 : N3 : N4 : N5 3 : 4 : 8 :11:12
18
第三节 洛伦兹因数
说明衍射的几何条件对衍射强度的影响

实际晶体不一定是完整的
X射线的波长也不是绝对
单一；

入射束之间也不是绝对平 行，而是有一定发散角。
19
第三节 洛伦兹因数
一、衍射的积分强度 如图3-5所示，衍射积分强度是分布曲线(衍射峰)在扣除 背底后所围成的面积，称为衍射积分强度 衍射积分强度近似等于ImB， Im为顶 峰强度，B为 Im/2处的衍射峰宽度(称 半高宽) Im和 1/sin 成比例，B和 1/cos 成比 例，故衍射积分强度与1/(sin cos) (即1/sin2 )成比例
图3-6 参加衍射的晶粒分数
2 r *sin(90 )r * cos 参加衍射的晶粒分数 2 4 (r*) 2
式中，r*为倒易球半径， r*为环带宽
21
第三节 洛伦兹因数
三、单位弧长的衍射强度 图3-7 为德拜法的衍射几何， 在衍射角为2 的衍射环上， 某点到试样的距离为R， 则 衍射环的半径为Rsin2，周 长为2Rsin2 可见单位弧长的衍射强度反 图3-7 德拜法衍射几何 比于sin2 cos 综前所述的三个衍射几何可得洛伦兹因数 sin 2 2
1 cos 2 2 角因数 2 8sin cos cos sin 2 2 实际应用多仅涉及相对强度，通常 1 2 2 2 1 cos 2 M P FHKL A ( ) e 称 为洛伦兹因数； 2 4sin sin2 cos cos
23
I 相对
由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会有所加强， 某些方向的强度将会减弱甚至消失，习惯上将这种现象称 为系统消光
7
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
一、结构因数公式的推导 如图3-3，取单胞顶点O为坐标原点，单胞中第 j 个原子A 的位臵矢量为， rj = xj a + y j b + zj c 式中，a、b、c是点阵的基本矢量；
14
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算
结构因数仅与原子种类、数目及 在单胞中的位臵有关，而不受单胞形 状和大小的影响。 三种点阵晶体衍射线分布见图5-20 ， 图中N = H2 + K2 + L2，产生衍射的干 涉面指数平方和之比分别为， 简单点阵 体心点阵 面心点阵 12345 2 4 6 8 10 3 4 8 11 12
图3-5 衍射的积分强度
20
第三节 洛伦兹因数
二、参加衍射的晶粒分数 如图3-6所示，被照射的取向无规 分布的多晶试样，其 (HKL) 的倒 易点均匀分布在倒易球面上。倒 易球面环带 (阴影)区域的倒易点 对应晶面才能参加衍射，即环带 面积与倒易球面积之比，即为参 加衍射的晶粒分数，它与cos 成 正比
图3-4 三种点阵 衍射线的分布
15
N
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算 4. 异类原子组成的物质 由异类原子组成的物质，如化合物AB属于简单点阵，A 和B原子分别占据单胞顶角和中心，两种原子各自组成简单点 阵， 其结构因数FHKL2为 当H+K+L=奇数时，FHKL2 = (fAfB)2 当H+K+L=偶数时，FHKL2 = (fA+fB)2 对于化合物CuBe，因Cu和Be的原子序数差别较大，衍射线 分布与简单点阵基本相同，只是某些衍射线强度较低 而与CuBe结构相同的CuZn，但因Cu和Zn的原子序数相邻， fCu和 fZn极为接近，而使其衍射线分布与体心点阵相同
图3-1 d 晶面及其衍射线的分布
3
第一节 多晶体衍射图相的形成
一个“衍射圆锥”代表晶体中一组特定的晶面。 其它晶面产生衍射，形成各自的衍射锥，只是锥角不同。
4
第一节 多晶体衍射图相的形成
微晶中晶面间距d不同的晶面， 产生的衍射圆锥的顶角4也不同， 4 180时为反射圆锥， 4 180时为背反射圆锥，
N1 : N2 : N3 : N4 : N5 1: 2 : 3 : 4 : 5
12
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵结构因数计算 2. 体心点阵(同类原子组成) 单胞中有2个原子，坐标分别为(0,0,0)和(1/2,1/2,1/2)，原 子散射因数均为 f FHKL2 = [f cos2(0) + f cos2(H+K+L)/2 ]2 + [f sin2(0) + f sin2(H+K+L)/2 ]2 = f 2 [1+ cos(H+K+L)]2 1) 当H+K+L=奇数时， FHKL2 = 0，衍射强度为零，如(100)、 (111)、(210)、(300)、(311) 2) 当H+K+L=偶数时， FHKL2 = 4f 2，晶面能产生衍射，如 (110)、(200)、(211)、(220)、(310) ，这些干涉面指数 (HKL)平方和之比为， N1 : N2 : N3 : N4 : N5 2 : 4 : 6 : 8 :10 13
三角形式：Acosx+iAsinx
单胞中所有原子散射波振幅的合成就是单胞的散射波振幅Ab
i1 i2 Ab Ae A e 1 2
Anein
Aa 一个原子中所有电子相干散射波的合成振幅 fa Ae 一个电子相干散射波的振幅
Ab Ae ( f1e
i1
f 2e
i2
f n e ) Ae f j e
N
[ f j sin 2 ( Hx j Ky j Lz j )]2
j 1
n
11
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵结构因数计算 1. 简单点阵(同类原子组成) 单胞中只有1个原子，其坐标为(0,0,0)，原子散射因数为 f，则有 FHKL2 = [f cos2(0)]2 + [f sin2(0)]2 = f 2 简单点阵的结构因数与HKL无关，即HKL为任意整数，均能 产生衍射，如(100)、(110)、(111)、(200)、(210) 令 Ni Hi2 Ki2 L2 i ，则简单点阵能够产生衍射的干涉面指 数(HKL)平方和之比为，
1 2 2 1 1 2 1 cos 2 M 洛伦兹因数 Icos P F A ( ) e HKL 2 4sin sin 2 相对 sin 2 sin2 cos cos
22
第三节 洛伦兹因数
四、角因数 将洛伦兹因数与偏振因数合并，可得到一个与掠射角 有关的函数，称角因数，或洛伦兹-偏振因数 角因数随 的变化如图3-8，常用的 角因数表达式仅适用于德拜法，因 洛伦兹因数与具体的衍射几何有关