承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

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如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：云南大学滇池学院参赛队员(打印并签名) ：1. 文可鑫2. 李翔3. 何宝林指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张懋洵日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题，针对问题一和问题二所提的不同要求，分别建立了可靠、有效的数学模型。

针对问题一中的椭圆柱体形的储油罐纵向变位对H V -的影响，建立了两个模型来进行求解：模型一，针对题中给定的实验数据建立了数据拟合模型，比较直观的拟合了面的高度可以分为两种特殊情况即max H H =和0=H ，和另外三种一般情况得出H V -的关系()()()) 180 4.1 tan(l -h 2 tan ) 180 4.1 tan(l -h ) 180 4.1 (tan l)-(L 2 ) 180 4.1 tan(l)-(L H 0 2)( tan tan )( 0 2222 0 tan tan 0 2222tan 0 2222tan tan 0⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧**>--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+**≤<**--**≤≤--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V αααααααπαππππ并用附录给定数据和matlab 验证了该数学积分容积模型的正确性。

针对问题二中的典型储油罐的横纵变位对罐容表的影响，建立了积分容积模型。

我们对横向变位(α≠0,β=0)、纵向变位(α=0,β≠0)和横纵变位(α≠0,β≠0)三种情况分别进行研究，最终得到了三种情况α,β和罐容表之间的一般关系。

根据所建模型求解出了三种情况下α，β值分别为：(1)α=3.878;(2)β=7.920;(3)α= 2.762，β=5.390。

对于所建的模型，都有严谨的数学推导，并通过模型检验证明所建模型具有可靠性和准确性。

关键词：变位 积分 修正高度 运动合成模型一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、基本假设1、假设温度变化对实验数据没有影响。

2、假设罐体壁厚度不考虑。

3、由地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，假设这个纵向倾斜和横向偏转角度都为小角度。

4、假设油浮子阻力可以忽略不计。

5、假设油浮子的体积大小忽略，将其认为为一个点。

三、符号说明H油浮子的高度V储油罐内的油量α纵向变位的角度β横向变位的角度L油罐的长度l 浮油子杆到油罐左端的距离 h 油罐的直径R 球冠体所在球的半径 r 油罐圆柱体的半径 a 椭圆油罐的长半轴 b 椭圆油罐的短半轴'H 油面修正高度四、 问题分析与建模4.1 数据预处理对于附件中的实验数据，由于在实验中存在读数、测量方法、仪器及电磁干扰等等因素产生的粗大误差和由固定不变的或者规律变化因素造成的系统误差。

对于存在的这两种误差，我们分采用了中位数检验法和马利科夫判据读数据作处理，筛选出真实有效的数据。

在附件一中，两组进油数据中都有底油，H 高度油罐中的油量为累加油量加上底油才是当前高度H 对应的油量V ，对两附件数据部分处理结果（见附录）。

4.2 问题一的分析与建模在问题一中用)(1H V 表示无变位的高度H 和油量V ，)(2H V 表示无变位的高度H 和油量V ，问题一中为了要掌握罐体变位后对罐容表的影响，必须要得到罐体无变位和倾斜后油量V 和高度H 的函数V 关系,因此根据附件数据，建立了模型一：数据拟合模型。

我们采用了对于该数据比较适合的拟合算法麦夸特(Levenberg-Marquardt) 和通用全局优化法,用1stOpt 进行拟合得到函数模型：油罐无变位时： 油罐无变位(1)2324.20003.00163.04695.03387.77590.625595.21402495.0)(273252231H H H H H H H H V *-*+*-*+*-*+*-=时：(2)109298.610600.2108963.3100158.3104300.100742.00872.0)(123310268206144822H H H H H H H V **-**+**-**+**-*+=-----由于用拟合方式只有在统计上具有说服力，要得到油量V 和高度H 更加准确和更加有说服力对应函数)(H F V =，根据题中给出的罐体的各种参数和对于这种规则但罐体倾斜的体积，我们采用了积分方法建模，得到了我们的模型二：积分容积模型。

4.2.1 问题一无变位情况 在这种情况下，利用积分求体积的方式很快就能够建立出无变位的数学模型—--积分容积模型（各参变量如图1所示）。

z图1 不变位情况图示具体方法如下：建立如图1所示的坐标系，在油罐液体中，沿着平行于xoy 平面的方向取出一个油液薄片，其体积L dS dV *=。

dS 为截面的面积，得到下面坐标系如图2的截面图：图 1 椭圆截面图示截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，dy x dS **2= ，因此dy b y ba a dS *)(*22222--=，在将dS 沿y 轴从0到H 积分得到油的体积：()(3) 2)(0221⎰--=Hdy b y b baL H V 4.2.2 问题一变位情况经过分析在变位时存在两种特殊情况：第一种油面很低，由于变位油液始终在斜底部，以至于增加少量油液，油液高度H 始终为0；第二种情况当油面很高，高到油浮子到了杆的顶部，此后随着油液的增加油液高度始终保持最大值H 不变。

除这两种特殊情况外存在三种一般情况，求出了具体的H V -关系。

由于H 在不同的取值区间有不同函数以及被积区间，我们把积分过程分成以下情况。

情况一：液高度H 低于AB ，即︒*≤≤tan4.1l)-(L H 0时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图3所示）。

z图 2 变位情况一图示对于这种情况，建立如图3所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+b b y a x ，取出油液薄片，油液薄片投影如图4所示。

X图 3 变位情况一截面投影图示先对算出截面的面积dy b y ba a dy x ds *)(*2**22222--==，而对dS 积分的上限即y 的值与截面所取的位置有关即与z 有关，所以根据油高H 和α角建立关系求出上限值，上限值等于ααtan *tan *z l H -+，再将面积对z 积分，z 的上限值确定也与H 和α有关，为αtan Hl +，得出积分表达式如下：()(4) 2)(tan 02222tan tan 02dydz b y ba a H V H l z l H ⎰⎰+-+--=ααα情况二：液高度H 低于AB , 即︒︒*≤<*tan4.1l -h 4.1tan l)-(L H 时，能够建立模型----积分容积数学模型（各参变量如图5所示）。

z图 4 变位情况二图示对于此情况，建立如图5所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，油液薄片如上图所示，仿照情况一的思路，我们得到这种情况下的积分式：()(5) 2)(0tan tan 022222⎰⎰-+--=Lz l H dydz b y ba a H V αα情况三：液高度H 低于AB ,即︒*>tan4.1l -h H 时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图6所示）。

z图 5 变位情况三图示对于这种情况，建立如图6所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，油的体积可分成两部分，第一部分为规则的椭圆柱的体积，第二部分为一不规则体的体积。

对规则的椭圆柱求其体积，求出椭圆柱的高为αtan hH l -+，利用底乘以高得到)tan (*απhH l ab -+，从而得出第一部分的体积；对于第二部分，仍取油液薄片如图6所示，仍是算出薄片的微元体积再对其积分，为此先根据H 和α的关系确定出积分上下限，对面积积分即对y 积分时因为积分的高度与取油液薄片的位置（z的取值）、H 和α的值有关，所以根据H l z y =-+αtan *)(,求出y 的值即为对y 积分的上限，对z 积分时，下限的取值是椭圆柱的高到罐体长L 。