承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：25018007所属学校（请填写完整的全名）：红河学院参赛队员(打印并签名) ：1. 郭聪聪2. 建晶晶3. 丁柱花指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张德飞（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

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）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文以月心为圆心建立空间直角坐标系，通过能量守恒定律并假设轨道方程为椭圆方程确定嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

接着利用三阶样条逼近函数确定轨道方程，并从动力学的角度建立动力学质心运动方程，在这个方程的基础上选择推力F和 作为控制策略，建立燃料消耗最小的目标函数，通过选取一些样本获得了最优控制策略。

最后对着陆轨道和控制策略进行了误差分析，采用安全着陆的概率为指标进行了敏感性分析。

关键词：能量守恒定律；样条逼近函数；动力学质心运动方程；控制策略一、问题重述1.问题的背景嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t ，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N 到7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s ，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W ，44.12N ，海拔为-2641m （见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km ，远月点100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

2.问题的提出根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题： (1)确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

(2)确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

(3)对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、符号说明符号说明：1、R 为月球半径2、()()1,2,,1,2,i i i i ααββ==分别表示纬度和经度3、()(),,1,2i i i x y z i =为软着陆轨道上任意一点在以月心为原点，,,ox oy oz 分别为月球的零度经线，月球自转方向，极轴所确定的三维直角坐标系中的具体位置 3、1w 为推力f 在主减速阶段所做的功，'",,f f f 均为不同的推力4、12,E E 分别为近月点和远月点的总能量；5、1r 为近月点的月心距，2r 为远月点的月心距，1v 为近月点的速度，2v 为远月点的速度，1h ，2h 分别为近月点、远月点的高；6、()1,2,3,4,5,6i v i =表示软着陆阶段着陆器在第()1,2,3,4,5,6i i =段的初始速度大小，7v 为着陆器到达月球表面指定地点时的速度大小7、h 为海拔高度，()1,2,3,4,5,6i h i =为软着陆阶段第()1,2,3,4,5,6i i =阶段始末位置的高度差，i T 为第i 个阶段着陆器运动所用的总时间 8.()J i 为第i 个阶段的能量消耗 9. F 为发动机推力三、模型假设1、在确定嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点时，假设燃料燃烧引起的着陆器质量变化忽略不计，在软着陆过程中将月球的向心加速度视为常量，且等于月球表面的向心加速度(21.63/m s ).2、在确定近(远)月点位置时忽略月球自转，着陆器在飞往月球过程中，按照影响球理论，假设每一时刻只受对其运动影响最大的中心引力体的作用。

3、在yoz 平面内求解近(远)月点位置的过程中假设快速调整后着陆器做垂直于月球表面的直线运动，推力在每一阶段都是恒力(要么是7500N ,要么是1500N )且忽略悬停时间4.在几百秒范围内的下降时间内，月球引力非球项、日月引力摄动和月球旋转等影响因素均忽略不计。

四、确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置和速度建立如图1所示的三维空间直角坐标系oxyz oxyz ，其中o 为月球的月心,,ox oy oz 分别为月球的零度经线，月球自转方向和极轴，其中着陆器在月球表面的着落点的坐标为(111,,x y z )，在近月点的坐标为(222,,x y z )。

图1 三维空间直角坐标系求着落点的坐标的方法如下：若月球上任意一点为(,,h αβ),那么将其表示为三维体系中的点(,,x y z )，则有 东经： (/1000)cos sin x R h αβ=+ （1） 西经：(/1000)cos sin(180)x R h αβ=++ （2） (/1000)cos cos y R h αβ=+ （3） 北纬：(/1000)sin z R h α=+ （4） 南纬：(/1000)sin(90)z R h α=++ （5）上式中R 是月球半径，其单位是：km ,h 是海拔高度，其单位是：mα是纬度，β是经度。

将1753.013R km = 2641h m =- 44.12α= 19.51β= 将数值代入得 1415.82x km =- 11173.59y km = 11207.41z km =由于嫦娥三号将在近月点15km 处以抛物线下降，故可在yoz 平面内建立如图2所示着陆器的轨迹方程，其中oz 轴为极轴，oy 轴为月球自转方向。

轨迹过0,1752.013，1,1y z 两点。

将两点坐标代入2z ay ay c =++得1752.013c =21173.59+1173.59)a （+1752.013=1207.4 （6）在主减速阶段即()20,y y ∈，着陆器在这0y =的速度大小为：117/v km s =，在2y y =的速度大小为：257/0.057/v m s km s ==由动能定理得等式：2221111122mv mv mgh w -=+ （7）这一过程推力做的功为： ()2010cos(180)y w fg y dy =⎰（8）()()'2+c 2g y ay ay ay a =+=+ （9） 由（6）（7）（8）（9）得0.0003946573a =-2221212222mgh mv mv ay ay f-++= （10）由于zoy 平面是着陆器的下降轨迹所在的平面，所以近月点在ox 轴的坐标与着陆点轴在ox 轴的坐标相等即12x x =当7500f N =时，将112h km =，117/v km s =，257/0.057/v m s km s ==，2103.91y km =时，21415.82x x km ==-，代入（2）（3）（10）得：175.6992α= 175.9685β=当1500f N =时，将112h km =，117/v km s =，257/0.057/v m s km s ==，2103.91y km =时，21415.82x x km ==-，代入（2）（3）（10）得：274.1178α= 260.7393β=综上得：7500f N =时，近月点的位置为75.6992N ,75.9685W ; 1500f N =时，近月点的位置为74.1178N ,60.7393W .由于近月点与远月点在同一条经线上，所以近月点与远月点的经度大小相同，且在oy 轴上的坐标相同，故由（3）得：7500f N =时，远月点的位置为75.6692S ,75.9685E ； 1500f N =时，远月点的位置为74.1178S ,60.7393E 。

由总能量在轨道上的任何一点都是相同的。

嫦娥三号在近月点和远月点的总能量分别为21111E =mv -m 2r GM22221=mv -m 2r GM E其中,GM 为月球常数,1r 为近月点的月心距，2r 为远月点的月心距，1v 为近月点的速度，2v 为远月点的速度。

由于12E =E ，有 2212121122GM GM mv m mv m r r -=- 即2212121122GM GM v v r r -=- (11) 由开普勒定律可知，近月点和远月点的速度之比等于其月心距的反比，即 1212r v v r =代入式(11)，有 2211112211()*22r GM GM v v r r r -=- 整理后，得 2121211*2r r GM v r r += 令212rk r r =+，有 21112GM v k r = 称上式为能量平衡式，它表示在近月点动能等于其势能的k 倍。

由于着陆准备轨道为近月点15km ，远月点100km 的椭圆轨道，又月球的平均半径1737.103R km =,月球的质量227.3477*10M kg =，则4900GM = 故有11221737.013151752.0131737.0131001837.013r R h r R h =+=+=⎧⎨=+=+=⎩ 1121837.0130.5121752.0131837.013r k r r ===++式中1h ，2h 分别为近月点、远月点的高。