y dy y
d
y
面积公式： o d A [ ( y ) ( y )]dy
2018/12/5
c
x ( y)
x ( y)
x
9
c
[例2] 求由曲线x 5 y , x 1 y 所围成 的面积 A. 1 y 2 [解] 解方程组 2
2 2
y1 1 2 x 5y 2 o 2 y2 1 x 1 y 2
2 2 a a
b
b
16
y
d
x ( y)
y+dy y
c
o
x
2
d 2
A( y ) x
d 2
2018/12/5
V x dy ( y )dy
c c
17
x y [例5] 求椭圆 2 2 1 绕 x 轴旋转所成 a b y 旋转体的体积V . x [解 ]
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A f ( x )dx
a
b
5
二、几何应用
（一）平面图形的面积 1. 直角坐标系下平面图形面积的计算
(1) 由直线 x a , x b 及 x 轴和连续 曲线y f ( x ) 所围曲边梯形的面积 A
根据定积分的定义和几何意义知
A f ( x ) dx
a
f (t )dt A(b)
A( x )
o
a
x a
A( x ) f (t )dt A( x ) f ( x )
f ( x ) C [a , b ]
x x x b
x
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A d A f ( x )dx A f ( x )dx o( x ) ( x 0)
d A f ( x )dx
4
微元分析法
第一步：分割区间 [a , b], 取具有代表性 的小区间[ x , x x ], “不变代变” , 写出 局部量的近似值 A f ( x ) x
微分近似
要求： A f ( x) x ( x)
第二步：令 x 0, 微元在区间[a, b] 上 无限积累 , 得定积分就是整体量
[a(1 cos )]2 d
0

o
4a
8a
2


0
cos
4
4

2
d
2


2 0
cos tdt
12
2018/12/5
3 2 a 2
3.参数方程下求图形面积
x a cos3 t [例4] 求星形线： 3 y a si n t 所围面积。
t [0, 2 ]
A
2 1
y
xy 1
y x
(1, 1)
x2
1
2 x 3 ( ln x )| ln 2 1 2 2 2018/12/5
2
2
8
1 ( x )dx x
o
x
设连续函数 ( y), ( y)满足 0 ( y ) ( y ) y [c, d ]
求由曲线 x ( y ), x ( y ), 和直线 y c, y d 所围成的面积 A
o
2018/12/5
a
x
x dx
b
b
A [ f ( x ) g( x )]dx a x
b
A f ( x ) g( x ) dx
a
7
[例1] 求由曲线 xy 1 及直线 y x, x 2 所围成的面积 A.
[解] 解方程组
x1 1 x y 1 x 2 1 y x
(1) 不均匀变化的整体量A依赖于 自变量 x 的某个区间 [a, b].
( 2)具有可加性.即, A Ai
i 1 n
(3)部分量 Ai 可“以不变代变”
2018/12/5
求得近似值 Ai f ( i ) xi
3
y
关键是 部分量 的近似
y f ( x)
A

b a
x 5y
A1
x 1 y2
x
A 2 A1 2
1
1 0
2
(1 y 5 y )dy
2 2
1 4 2 2 2 2 3 2 (1 4 y )dy 2( y y )| 0 0 3 310 2018/12/5
2. 极坐标系下平面图形面积的计算
求曲线 ( ) 及射线 , 所围成的面积.
2018/12/5 6
b
(2) 由曲线 y f ( x ), y g( x ) 和直线 x a, x b 所围成的面积 A 先看, g( x ) f ( x ) x [a, b]
y
y f ( x)
面积微元
dA [ f ( x ) g( x )]dx
y g( x )
a
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[解] 利用对称性
A 4 A1 4 ydx
0 a
4 a sin t 3a cos t ( sint )dt
3 2 2
0
12 2 a 2 sin 4 t (1 sin 2 t )dx
0

3 1 5 3 1 12 a ( ) 4 2 2 6 4 2 2 3 2 a 8
作业
P201 习题7.1 P210 习题7.2 1(5) 2. 8(2). 11(1). 15(1)
P218 综合题 P113 习题4.3
5. 15(2).
预习: P211—218
2018/12/5 1
第十九讲 定积分的应用（一）
一、微元分析法 二、几何应用
2018/12/5
2
一、微元分析法
可以应用定积分计算的量有如下特点:
2
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（二）空间立体的体积 1. 已知平行截面面积立体的体积
A(x)
a
2018/12/5
x x dx
V A( x )dx
a b
b
15
x
体积
2. 旋转体的体积 y 2 A( x ) y
y f ( x)
x x dx b
oaBiblioteka x2018/12/5
V y dx f ( x )dx

面积微元

d
( )

1 2 面积微元：小圆扇形 dA ( )d 2 1 2 A ( )d 2 2018/12/5 11
o

[例3] 求心脏线 a(1 cos )所围成 的面积A. 1 2 [解] 利用对称性 A 2 A1 2 0 ( )d 2