解三角形本章测试
一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。
1. 在ABC ∆中，2,2,6
a b B π
==
=
，则A =（ ）
.A
4π .B 3
π
.C 34π .D 344ππ或
2.在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为（ ）
.A 030 .B 045 .C 0120 .D 0150
3. 已知ABC ∆中，::114A B C =：：，则::a b c 等于（ ）
.A 1:1:3 .B 2:2:3 .C 1:1:2 .D 1:1:4
4. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若02,1,29a b B ===，则此三角形解的情况是（ ）
.A 无解 .B 有一解 .C 有两解 .D 有无数解 5. 在ABC ∆中，00090,045C A ∠=<<，则下列各式中，正确的是（ ）
.A sin sin A B > .B tan tan A B > .C cos sin A A < .D cos sin B B <
6. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西075、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ ）
.A
62海里/时 .B 346/时 .C 172
2
海里/时 .D 2海里/时 7. 已知ABC ∆的面积为S ，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
224(),4S a b c bc =--=，则=S （ ）
.A 2 .B 4 .C
3 .D 238. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若15cos 4
C =，
cos cos 3b A a B +=，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） .A 3 .B 22 .C 4 .D 6
9. 在ABC ∆中，已知
222222
sin sin a A b B
a c
b b
c a =+-+-，则ABC ∆的形状为（ ）
A.直角三角形；
B.等腰三角形；
C.等腰或直角三角形；
D.等边三角形
10. ABC ∆中，060A ∠=,若33
2
ABC S ∆=
,且2sin 3sin B C =,则ABC ∆周长为（ ）
.A 57+ .B 12 .C 107+ .D 527+
11. 在锐角ABC ∆中， ()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若3a =，则22b c +的取
值范围是（ ）
.A 3,6（）
.B 3,5（） .C ,6]（5 .D [5,6] 12. ABC ∆的内角，，的对边分别为，，，已知2
511
cos cos cos 2442
C a A c B =-+， 且2b =，则a 的最小值为（ ）
.A
65 .B 7
5
.C 9625 .D 11225
二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 在锐角ABC ∆中，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 的值________．
14. 在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆中最大边所对角的余弦值为____． 15. 在ABC ∆中，6b =，且227
cos ac B a b =-+
，O 为ABC ∆内一点，且满足0030OA OB OC BAO ++=∠=，，则||OA =________．
16. ABC ∆中，1cos 428
A A
B A
C ===，，，则A ∠的角平分线A
D 的长为________． 三.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233342b c a bc +-=. （1）求sin A 的值；
（2）求2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值．
18. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4
A π
=，22
2
12
a c
b -=
． （1）求sin C 的值；
（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值．
19. 已知函数23()sin(
)cos()sin (3)22
f x x x x ππ
π=-+++ （1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；
（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3
()2
c f C ==
，且sin 2sin A B =，求a ，b 的值．
20. 已知(2cos ,2sin )b (sin(),cos())66
a x x x x π
π
==--，，函数()=cos ,f x a b <> （1）求函数()f x 零点；
（2）若锐角ABC ∆的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =，求b c
a
+的取值范围．
21. 某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，,,,,,AB BC CD DE EA BE 为学校的主要道路（不考虑宽度）.29
,333310
BCD CDE BAE DE BC CD km ππ∠=∠=
∠====，． （1）求道路BE 的长度；
（2）求生活区ABE ∆面积的最大值．
22. 函数()=sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ+><的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右
平移
4
π
个单位长度后得到函数()y g x =的图象． （1）求函数()y g x =的解析式；
（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 满足2
2sin
(123
A B g C π
+=++)， 且其外接圆的半径2R =，求ABC ∆的面积的最大值．
参考答案
一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项
D
C
A
C
D
A
A
D
C
A
C
A
二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
6
π
14. 14- 15. 3 16. 2
三.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分，解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解：（1）由余弦定理得
又
（2）原式
．
18. 解：（1）∵
∴ 由余弦定理可得：
∴ ，又，可得．
∴ ，可得
． ∴ ．
∵
∴ ．
（2）∵ ，解得
∴
．
19. 解（1）∵
＝
∴ 最小正周期＝ ∴ 由，，解得：对称中心为
，
．
（2）由，得
∴ ＝ ∵ ，可得：
，可得：
∴ ∵
＝
，由正弦定理得＝ ①
由余弦定理＝，可得：＝
②
由①②解得＝，＝2
20. 解：（1）由条件可知：b 2cos sin()2sin cos()2sin(2)666
a x x x x x π
ππ
⋅=⋅-+⋅-=-
∴
所以函数零点满足：，由
解得
，
．
（2）由正弦定理得
由（1）()=sin(2)6
f x x π
-，而
得
∴
又，得
∵
∴ 代入上式化简得：
又在锐角中，有
∴
∴
则有
即：．
21.解：（1）连接，在中，
由余弦定理得：
∴
∵
∴
又
∴
在中，所以．（2）设，∵，
∴．
在中，由正弦定理，得
∴．
∴
．
∵
∴．
∴当，即时，取得最大值为
即生活区面积的最大值为．
22. 解：（1）由图知，解得
∵
∴ ，，即，
由于，因此
∴
∴
即函数的解析式为
（2）∵ ∴
∵
，
，即
所以
或（舍），可得：
由正弦定理得，解得
由余弦定理得
∴ 2212a b ab ++=
∴
2)1230a b ab -=-≥（ ∴ 4ab ≤（当且仅当2a b ==时等号成立） ∴ ∴
的面积最大值为
．。