第4章 常系数线性方程 例4.3 解方程
x(5) 3x(4) 4x 4x 3x x 0
解 写出它的特征多项式，并分解因子，有
P() 5 34 43 42 3 1 ( 1)3( i)( i)
可见特征根是1(3重)，i(1重)，-i(1重)，相应的基本解组为
et , tet , t 2et , eit , e it
P() ( 1 )n1 ( 2 )n2 ( r Байду номын сангаасnr 其中，n1 nr n , i j (i j),则函数组
e1t , te1t ,, t n11e1t
ert , tert ,, t nr 1ert ,
是方程(4.1)的一个基本解组.
…
第4章 常系数线性方程 例4.2 解方程
x(5) 3x(4) 2x 0
解 写出特征多项式，并作因子分解：
P() 5 34 23 3 ( 2)( 1)
可见特征根是0(3重)，1(1重)和2(1重).因此相应的基本解组为
1, t , t 2 , et , e2t
而通解便是
x c1 c2t c3t 2 c4et c5e 2t
1 (At)m m!
Rm (t)
A m 1
t
0 dt1
t1 0
dt
2
tm 0
(t
m
1
)dt
m1
当m→∞时,Φm(t)显然收敛.下面证明:
Rm (t) 0, m
第4章 常系数线性方程
为此，对每一给定的t，在以0与t为端点的区间上，|φ(s)|有
界.设M是它的一个上界,则
Rm (t)
M
(D 1 )n1 (D 2 )n2 (D r )nr x 0
由此知方程
(D r )nr x 0
(4.4)
第4章 常系数线性方程
的解都是方程(4.1)的解.为了解方程(4.4),注意利用归纳法容 易证明公式
D m (e t x(t)) e t (D )m x(t) (4.5)
其中m为任意正整数，δ是任何复数.取m=ni，δ=-λi,利用式 (4.5)可将方程(4.4)化成
则其共轭复数 0 i 也是n0重特征根.定理4.1给出
的基本解组中将同时出现:
e0t , te0t ,, t n0 1e0t
(4.9)
e 0t , te0t ,, t n0 1e 0t
(4.10)
第4章 常系数线性方程 把式(4.9)与(4.10)中各对应函数分别相加后除以2和分别相减 后除以2i，便得到2n0个实值解：
述方程可以写成
D n x a1D n1 x an1Dx an x 0
若记 P(D) D n a1D n1 an1D an ，则方程可简记为
P(D)x 0
(4.1)
第4章 常系数线性方程
如果能看出它的n个线性无关的解，则可立即得到它的
通解.但是怎么看出来呢？欧拉提出了一种方法，即待定指
特征方程，其根称为方程(4.1)的特征根.
第4章 常系数线性方程
例4.1 解方程
x x 0
解 与它相应的特征多项式为2 1 ，相应的特征根为 1和 1 ，相应的解为 x e t 和 x et .这两个解相应的朗斯基行列式
et et
W (t)
20
et et
即它们线性无关，因而构成一个基本解组，所以原方程的通解是
(4)若矩阵A和B乘法可交换，即AB=BA，则
e At e Bt e( AB)t
特别地，由于At和-At0乘法可交换，因此有
e At e At0 e A(tt0 )
(4.17)
第4章 常系数线性方程
性质(1)和(2)是明显的.我们只证性质(3)和(4).为此，记
(t) e AteBte( AB)t
其中,c1和c2是任意常数.
x c1et c2et
第4章 常系数线性方程 方程(4.1)的特征多项式P(λ)是λ的n次多项式.如果它可以
分解为一次因式，即
P() ( 1 )n1 ( 2 )n2 ( r )nr
其中 n1 nr n, i j (i j) ，则方程(1.1)便可以改写为
p1(r1) (t)e1t 0
(4.8)
其中 p1(r1) (t ) 是次数与 p1 (t ) 次数相同的多项式,因而是非零多项 式.但要(4.8)成立，除非 p1(r1) (t ) 是零多项式，矛盾.因此我们有
如下定理：
第4章 常系数线性方程 定理4.1 如果方程(4.1)的特征多项式P(λ)可以分解为
开式.所以我们自然定义
e At E At 1 ( At)2 1 ( At)k (4.16)
2!
k!
第4章 常系数线性方程
这样定义的矩阵函数具有下列性质：
(1)eAt是方程组(4.11)
X=eAt是下述初值问题的解：
d X AX , dt
(2)AeAt≡eAtA;
X (0) E
(3)eAt的逆矩阵是e-At；
其中 pi1 (t) 仍是一多项式，且其次数与 pi (t ) 的次数相同.接 着再以 er 1t 乘(4.7)两端，微商 nr 1 次，然后用 er1t 乘，进
而得
p12 (t)e1t p(r2)2 (t)er2t 0
第4章 常系数线性方程
其中 pi2 (t) 是次数与 pi1 (t) 的次数、从而也与 pi (t) 的次数相同的多 项式.如此继续下去，经r 1步便得到
.
第4章 常系数线性方程 例4.4 求例4.3中方程的实基本解组. 解 注意
eit cost i sin t
故有实基本解组:
et ,tet ,t 2et , cost,sin t
第4章 常系数线性方程
4.2 常系数齐次线性方程组的解法
现在转到常系数齐次线性方程组
d x Ax dt
其中x是n维向量，A是n×n阶常矩阵.
由于AB=BA，因此从定义易见
AeBt eBt A
从而
d (t) eAt ( AeBt eBt B eBt ( A B))e(AB)t 0
dt
又ψ(0)=E，故ψ(t)≡E.由此可见式(4.17)成立. 取 B=-A，就推出性质(3).
第4章 常系数线性方程
应用矩阵指数函数eA(t-t0)，常系数齐次线性方程组(4.11)
A m1 1 t m1 0 , (m 1)!
m
由此知，在式(4.14)中令m→∞，便得
(t) (t)x0
其中
(t) E At 1 (At)k
(4.15)
k!
Φ(t)正是方程组(4.11)的一个基本解矩阵，满足Φ(0)=E.
当n=1，即A是数，E=1时，式(4.15)的右端就是eAt的展
…
ert , tert ,, t nr 1ert ,
其中每一行中的解彼此是线性无关的. 下面证明：这n个解线性无关.假若不然，则有不全为零
的n个常数α1,…,αn, 使得
(1 2t n1t n11)e1t (nnr 1 nt nr 1)ert 0
或简记为
p1 (t)e1t pr (t)ert 0
D ni (eit x(t)) 0
容易看出它的通解为
x (c1 c2t cni t ni 1)eit
从而得到方程(4.4)的一个基本解组：
eit , teit ,, t ni 1eit
第4章 常系数线性方程 令i=1,2,…,r，我们便得到方程(4.1)的如下n个解：
e1t , te1t ,, t n11e1it
1
, 1
i
(4.22)
第4章 常系数线性方程
此处 i 1,, r; j 1,, mi ; J i 是 ni 阶矩阵，包含了对应于
第4章 常系数线性方程
第4章 常系数线性方程
4.1 常系数齐次线性方程的解法 4.2 常系数齐次线性方程组的解法 4.3 算子解法与拉氏变换法
第4章 常系数线性方程
4.1 常系数齐次线性方程的解法
在这一节里，我们考虑具有常系数a1,a2,…,an的齐次线 性方程:
将微分算子 d 记为 D ，并令 D2 DD,, Dn D(Dn1 ) ，则上 dt
第4章 常系数线性方程
1.矩阵指数函数eAt
设x0为任意n维常向量.由定理3.1知，方程组(4.11)初值 条件x(0)=x0的解φ(t)在-∞<t<∞上存在且唯一.把它代入方程组 (4.11)，并对它从0到t积分，可得
t
(t) x0 A 0 (t1) d t1
(4.12)
迭代一次，即把式(4.12)代入式(4.12)右端的积分号下，进而得
通解为
x (c1 c2t c3t 2 )et c4eit c5e it
其中,任意常数c1,…,c5可以是复数.
第4章 常系数线性方程
由于特征多项式可能有不是实数的根，因此定理4.1给 出的基本解中有的可能不是实值函数.能否进一步得到全部 都由实值函数构成的基本解组呢？回答是肯定的.
事实上，由于方程(4.1)的系数ai都是实的，它的特征多 项式是实系数多项式，因此若复数λ0=α+iβ是n0重特征根，
t
(t) x0 A 0
x0
A
t1 0
(t2
)
d
t2
d t1
(E At)x0 A2
t
0 d t1
t1 0
(t2
)
d
t2
(4.13)
第4章 常系数线性方程 其中,E是单位矩阵.如此迭代m次，便得
(t) m (t)x0 Rm (t)
(4.14)
其中
m
(t)
E
At
1 (At)2 2!