第一章金属自由电子气体模型
1．1
（1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 PdV W dU -== ,
式中P 是电子气的压强。

由上式可得 V
U
P ∂∂-
= 。

在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由教材（1.1.25）式得 F N U εε5
3
0=
= 其中3
2
2
2
22
322⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==V N m m k F
F πε 由此可计算压强： V V N V V U P N F N
325300εεε=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-=∂∂-
= (2) 由热力学可知，压缩系数的定义是：单位压强引起的体积的相对变化，即 T
P V V ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-
=1κ 而体弹性模量等于压缩系数的倒数， T
V P V K ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-==
κ1
故体弹性模量为：
()
V
V V
N m N V V V
V P V K T T
9109103253320
13
2
3
2
220επε=
⋅
=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-=--
1．2
He 3
的自旋为1/2，是费米子，其质量24
10
5-⨯≈m g.在密度3
081.0-⋅=cm g ρ的液
体He 3
中，单位体积中的He 3
数目为： 3283221062.11062.1--⨯≈⨯≈=
m cm m
n ρ
其费米能为：
()
3
2
22
2
2322n m
m k F F πε ==
将n,m 值带入；得到： J F 23
10
8.6-⨯≈ε
其费米温度为：
()K K k T B F
F 9.410
38.1108.623
23
≈⨯⨯≈=--ε 1．3
由教材（1.2.20）式知单位体积的自由电子气体内能： ()()2
2
06
T +
=B k g F επμμ
则1mol 自由电子气体的内能为：
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡T +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 22061K g n n N n N U F A A επμμ
自由电子气体的摩尔热容量为 (利用了教材（1.1.29）式)：
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=F B A F V e T T R T K N g n T U C 2322
2πεπ ………… ① 又知低温下金属钾的摩尔电子热容量 321008.22-⨯=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
T T T R C F e π K ≈⇒19726F T
由 ① 式可知：费米面上的态密度：
()3
1462
32221073.71008.2333---⋅⨯≈⨯⨯===m J RK n T RK nC T K N nC g B
B e B A e F πππε （其中取：3
28
104.1-⨯=m n ） 1．4
⑴ 3223231042.864
95.811002.6--⨯≈⨯⨯⨯==
cm cm A Z N n m A ρ ⑵ s ne m
m ne 14221071.21
-⨯≈=⇒==ρ
ττσρ
⑶
()()eV J n m n k m k F F F
F 71012.1323218322
232222
2≈⨯==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
==
-πεπε ()1631
2
1057.13-⋅⨯===s m n m
m k v F F π ⑷ m v l F F 8
1025.4-⨯==τ
1．5
设电子系统相对等量均匀正电荷背景的小的整体位移为r
, 电子数密度为n 。

导致的电
极化强度r ne p
-= (其理解可借助教材p18) , 体系电中性条件要求
00=+p E
ε , 故位移电子受到的电场
0εεr
ne p E =
-= 则任一电子的运动方程为
r ne E e dt
r d m 0222ε-=-=
或
022
2=+r dt r d
ω 其中 0
2
2
εωm ne =
显然, 所有电子都参与频率为ω的谐振动, 故系统是稳定的. 1．6
当P ωω>（等离子体频率）时，金属对电磁波的吸收系数α=0 其中：m
ne P 02
εω=
………… ① m
m
A A ZN n ρ=
………… ② 对于金属Al ，将3=Z ，37.2-⋅=cm g m ρ，13=m A 代入②式得： 3
22
101.18-⨯=cm n
又由 ① 式得： Hz P 151059.7⨯=ω
又
m C
C
P
P P
P P 71048.2222-⨯≈=
⇒==ωπλλπ
πυω
故当
P λλ< 时，对于电磁波辐照，金属Al 是透明的。

1．7
在电场和磁场同时存在的情况下，自由电子气体所满足的单电子准经典方程为：
()
B v E e v dt d m
⨯+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+τ1 ………… ①
设 z
B B ˆ= ，在稳态下，有0=dt
v
d ，上式化为： 0ˆ=-⨯--v m z
v eB E e
τ
…………… ② 利用电流密度和漂移速度的如下关系：
ne
j
v v ne j
-=⇒-= …………… ③
令
c m
eB
ω= ，式 ② 可写为： 01ˆ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-j ne m z
j ne m E e c
τω ⇓
j ne m z
j ne m E c
τω22ˆ+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛= …………… ④ 注意到 02στ
=m
ne ，0σ是直流电导率 ，式 ④ 变为： j z
j E c
+⨯=ˆ0
στω …………… ⑤ 写成分量形式 ，则为：
()()z j y j x
j x j y j z E y E x
E z y x y x c z y x ˆˆˆ1
ˆˆˆˆˆ0
0++++-=++σστω ………… ⑥ 即： ⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪⎪⎬⎫=
+-=+=
z
z y x c y x y c x j E j j E j j E 0
000
01
1
1σσστωσστω ……………… ⑦
j E
ρ= …………… ⑧
其中： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-00
00
010
001
01σσστ
ωστωσc c 此即静态电阻率张量 。

由此可看出其对角元在外加磁场时不发生变化。

当 B E // 时，z
E E ˆ=
，于是有： 0==y x j j 由 ⑧ 式有 ：
z z z z y x j E j E E E 0
01
100σσ=⇒⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
则纵向磁致电阻率 ：0
1
σρ=
=
z z L j E (和磁场无关) 当 B E
⊥ 时 ：
⑴ 当y
E E ˆ=
， 于是有：0==z x j j 由 ⑧ 式有： ⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010
y y c z y x j j E E E σστω 则横向磁致电阻率 ：0
1
σρ=
=
y
y T j E (和磁场无关)
⑵ 当x
E E ˆ=
， 于是有：0==z y j j 由 ⑧ 式有：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100
x c x z y x j j E E E στωσ 则横向磁致电阻率 ：0
1
σρ=
=
x x T j E (和磁场无关) 总之，自由电子气体的横向磁致电阻率和磁场无关；故自由电子气体的横向磁阻
为零。