• 内摩擦和粘性流体： 如果面元两侧的流体速度不同，任何通过面元的随机的分子 相互作用的结果将是建立起应力的切向分量，应力的符号必 是趋于消除两侧的速度差，因此动量输运构成了内摩擦，具 有内摩擦的流体成为粘性流体。
• 流体中动量的分子输运：
分子间的相互作用只能在很短的距离内有效，而穿过面元的分子 传递的动量对于流体速度分布的依赖，一般仅仅是通过对于局部 梯度 dU dy的依赖体现。对于足够小的 dU dy ，穿越面元的应 力的切向分量线性地随 dU dy变化。应用1.3中的记号得出：
这种由于分子的迁移造成的流体某一组分的非零通量构成物 质的扩散。
• 静止的各向同性介质中扩散方程：
当C代表有标记分子在流体混合物中的比例数时。在流体体积V内，
有标记的分子数是 CNdV ，仅当分子穿过边界时才会发生变化，
于是有：
t
CNdV
(kDC)dV
其中， kD 是对于有标记分子扩散这种情况的k值。
目录
1.6 输运现象
• 平衡状态：物质所有性质均具有均匀的空间分布，物质的每一微 元均与相邻的微元 处于力学和热学的平衡状态。
• 输运现象：如果物质的某些特性不均匀时 ，相互接触的微元之间 有力学或者热力学特性的交换，趋于把该物质带向平衡状体。交 换的普遍结果是：微元包含的某种满足守恒规律的量的减少及另 一微元所包含的这种量的增加。
在特殊情况下，即有标记与无标记分子在动力学上相似，因此， 在具有相同的迁移特性的情况下 ， D与 kD 都与C无关， D 称为 自由扩散系数。
热传导与热传导方程
• 热传导：当温度不均匀时，净分子能量通量。
实例： 被一准许热穿过的薄刚性壁分开的两种物质，当温度的
状态函数值相同时会处于热平衡状态，而当两者的温度不同 时，净热流会向着温度减少的方向穿过边界。
在相同的压力下，把分割的两团物质的隔板移走，尽管 由于压力必须保持相等使热流造成的结果要被改变，但并不 影响热平衡的 条件或者热净流的方向。
• 静止的各向同性介质中热传导方程： 当C代表材料的温度时，根据方程：
- knCdA (kC)dV
位于小体积dV内的物质由于通过边界的热运输引起的热获得率
f • nA
其中：通量向量f是x的函数。
• 净输运量的计算：
目标：得到C与f这两个物质内位置的函数之间的关系。
假设一：通过一面元的输运是由该面元邻域内的分子运动和分子 相互作用决定，并且在这个邻域内C可以用位置的线性函数近似， 要求：
C 2C ＞＞分子运动或相互作用的特征长度
x x2
假设二：对于充分小的 C 的值，通量向量随 C 的z各分量线性 变化，在已知通量向量 C 同趋于零时：
将上式与 TdS dE pdV cpdT vTdp联立，把增量写为变化率： S T T p 1
T t cp t t (kH T )
这就表示在静止介质内热传导作用的一般方程。
对于静止和可以自由膨胀的介质（在这种情况下p为常值），以及对于静止的
受限的介质，上式变形为：
T
S t
cp
• 基本输运现象：质量传递、能量传递与动量传递。
通量与标量强度与梯度之间的线性关系
• 净输运量的表达： 表达一：把强度记做C（代表浓度），假设C为材料内位置x的连 续函数。与C相关的某量通过材料内某面元单位面积的净输运量 随面元的法线方向n而变化，变化的方式与一个向量在n方向的分 量相同。 表达二：通过一个微小四面体的三个正交面的向内输运量之和与 通过斜面向外输运量，只差一个与四面体同量级的量。因此，没 秒通过面积为δA法向为n的面元的净输运量为：
T t
1
(kH T )
当热传导系数kH在整个物质中近似地为均匀时，T的方程变为：
T t
H2T
其中： H kH cp 叫做热扩散系数。
动量输运与粘性
• 动量输运：通过一个以流体的局部“连续介质”速度运动的 面元的分子动量输运，每当有分子穿越这个面元的时候就会 存在。事实上，只要顺势地处于面元两侧的两组分子间有力 的作用，分子的动量输运就会存在。
12
dU dy
其中 是流体的粘性系数。
1.7 气体的特性
气体特性： 分子间距离很远，每个分子在运动过程的绝大部分时间
内，在动力学上是孤立的。
气体分子间距离的简单估算： 1mol气体所含分子数为6.0221367 ×1023个，所占体积
以上关系式对于任意选取的全部处于பைடு நூலகம்体中的体积V都成立，因
此上式中被积函数必须处处是零，即：
N
C t
（ kDC）
其中 ，kD 依赖于材料的局部状态，是流体中位置的函数。
实际情况中kD 的梯度常常充分小，上式可取近似的形式：
上式称为扩散方程
C t
D2C
D kD N
是有标记组分的周围流体中的扩散系数。
fi
kij
C x j
其中：kij 为输运系数，是一个二阶张量。
各向同性介质：k ij 具有的形式是使得在其中任何方向之间的差别都不存
在。任何正交坐标轴成为系数 kij 的主轴，这只有当：kij kij 时才可
能。 在静止的各项同性介质内所有点上通量向量的表达式：
f kC
某一量从单位外法向量为n的封闭面A包围的材料中每秒传递的总量为：
- knCdA (kC)dV
其中V为所包围区域的体积。如果已知传递量遵守一恒定律，那么就能 够得到关于强度C依赖于位置及时间的控制方程。
物质的传递与扩散方程
• 物质的传递： 假设属于混合物的某一组分的分子能用某种方式加以标记。
在任意时刻，如果标记的分子的比例数在紧邻流体中画出的 一个面元的一侧比另一侧大，那么有标记的分子从两侧穿过 此面元的随机迁移会导致有标记分子通过此面元的非零通量。 这个通量使得两侧有标记分子的比例数趋于接近。
是（对于温度用字母T表示）
（ kHT）dV
kH是相当于热传导情况时的k值，称为热传导系数。
材料的热力学状态由于热流的变化而不断的变化，但只要变化率
是缓慢的，可以把在短暂时间dt内，每单位质量材料中的热量增
加视为从一种平衡状态到另一平衡状态作可逆变化中的热量增加
dQ，即：
dQ
dt
(kH
T
)
这种热能增加的一部分表现为每单位质量的内能的增加，而另一部分表现为 由单位质量的材料所做的功。