(2)求曲边梯形面积的方法和步骤： ①分割 在区间[0,1]上等间隔地插入 n－1 个点，将它等分成 n 个小区间：
n－1 1 1 2 0， ， ， ， „， 记第 ，1， n n n n
i
i－1 i 个区间为 „， ，n(i＝1,2， n
(3)求和：sn＝ Δsi
i＝1
n
i－1 t ＝ g· n ·n t· i＝1 gt2 ＝ n2 [0＋1＋2＋…＋(n－1)] 1 1 2 ＝ gt 1－n. 2 (4)取极限：s＝ 1 1 2 1 2 lim 2gt 1－n＝2gt . n→∞
n
求变速直线运动的路程问题，方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和步骤类似于求曲
ΔSi， 即在局部小范围内“以直代曲”， 则有
i－1 ΔSi≈ΔS′i＝f n Δx.
③求和 各个小矩形的面积求和， 图②中阴影部分的面积 Sn 为 Sn＝ ΔS′i
i＝1 n i－1 n
＝ f
i＝1
n
Δx，从而得到
曲边梯形的面积 S≈Sn.
④取极限 如图③所示，可以看到，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时， Sn 趋向于 S，从而有 S＝ .

n
＝1＋
1 1 1 lim 31－n1－2n n→∞
1 4 ＝1＋ ＝ . 3 3 4 所以所求的曲边梯形的面积为3.
分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四 个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：
①思想：以直代曲；②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→
i－1 it 在 „， 可取 ξi 使 t，n上任取一时刻 ξi(i＝1,2， n)， n
i－1 v(ξi)＝g n
t 近似代替第 i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体 t Δt＝n内所经过的距离可近似表示为 i－1 t Δsi≈g· n t·(i＝1,2，„，n)． n
则
i－1 i－1 1 3 ΔSi＝f Δx＝3· n ·＝n2(i－1)(i＝1,2，„，n)． n n
n n
(3)作和： ΔSi＝
i＝1 i＝1
3 (i－1) n2
3 3 n－1 ＝ 2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝ · . n 2 n (4)取极限：S＝ lim
i＝1
＝
i＝1
n
b－a n f(ξi)，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个
常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作bf(x)dx，即
a b a
f(x)dx＝
．
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 和 做 积分区间
积分上限 ，区间[a，b]叫
，函数 f(x)叫做被积函数 ，x 叫做 积分变量 ， ．
2．求汽车做变速运动的路程的步骤 (1)分割 在给定时间区间[0,1]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它等分 成 n 个小区间． i－1 i i 若记第 i 个区间为[ n ，n](i＝1,2，„，n)．其长度为 Δt＝n－
n i－1 1 n ＝n.则第 i 个区间的路程为 ΔSi＝v(ti)·Δt.则显然有 S＝iΔSi. ＝1
确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质
特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来 的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义．
(2)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积 分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即
(称为积分形式的不变性)，
解
(1)分割：把区间[0,1]等分成 n
i－1 i 个小区间 ，n(i＝1,2，„， n
1 n)，其长度 Δx＝n，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，其面积记为 ΔSi(i＝1,2，„，n)． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
i－1 i－1 1 2 ΔSi＝f ·Δx＝1＋ n ·(i＝1,2，„，n)． n n
另外定积分 与积分区间[a，b]息息相关，不同的积
分区间，所得的值也就不同，例如 的值就不同．
题型一 求曲边梯形的面积 【例1】 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的曲 边梯形的面积S.
[思路探索] 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割，近似代替、
求和、取极限四个步骤进行．
即把区间[0,1]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲
矩形 边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用
小曲边梯形 代替 小曲边梯形 的面积，得到每个
的面积近似
面积的近似值，
曲边梯形 对这些近似值求和，就得到 算 矩形面积
面积的近似值．可以想象，
随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好．也即用化归为计 和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
a
什么？ 提示 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝
a
f(x)，x＝a，x＝b，y＝0 所围成的图形的面积的相反数．
6．定积分的性质
名师点睛
1．求曲边梯形面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围 成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分
自学导引
1．连续函数 如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线， 那么就把它称为区间I上的 连续 函数．
2．曲边梯形的面积 (1)求曲边梯形面积的思想：如图①所示，我们求y＝f(x)与x轴
所围成的在区间[0,1]上的曲边梯形的面积，我们可以采用分割，
以直代曲、作和，逼近的思想方法求出其面积．
边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题
转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、 取极限．
【变式 2】 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻 t 的 速 度 为 v(t) ＝ － t2 ＋ 5( 单 位 ： km/h) ， 试 计 算 这 辆 汽 车 在 0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)． 解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入 n－1 个点，将区间分 成 n
(3)求和： ΔSi＝
i＝1 i＝1
n
n
i－1 1 2 1＋ n . n
(4)取极限：S＝
lim
n
n→∞i＝1
i－1 1 2 · 1＋ n n
＝1＋
i－1 1 2 lim · →∞ ＝ n n n i 1
认为函数 y＝f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它
i－1 i－1 近似地等于左端点 处的函数值 f n .从图形上看，就是 n
用
平行于x轴的直线段
近似地代替小曲边梯形的曲边(图 ΔS′i 近似地代替
i－1 i ②)．这样，在区间 ，n上，用小矩形的面积 n
曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到
的面积的误差越小．
4．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<„<xi －
1<xi<„<xn＝b
将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi
n
－1
，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，„，n)作和式 f(ξi)Δx
3．求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采
用 分割， 近似代替 ，
内所作的位移s.
求和 ，
取极限 的方法，求出它在a≤t≤b
求解方法与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的 方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动 的路程问题．即将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间
n
n→∞i＝1
3 (i－1) n2
＝
3 n－1 3 lim · ＝ . n 2 n→∞ 2
题型二
求变速运动的路程
【例 2】 用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落 体的运动速度 v＝gt， 求在时间区间[0， t]内物体下落的距离． [思路探索] 选定区间 → 分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成 n 等份．
f(x)dx 叫做 被积式
5．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b
a
f(x)dx 表示由 直线x＝a 的曲边梯形的面积．
， x＝b ， y＝0 和 y＝f(x)所围成
想一想：当 f(x)在区间[a，b]上且 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含义是
i i－1 1 n)，其长度为 Δx＝n－ n ＝n. 分别过上述 n－1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲 边梯形(如图①)，它们的面积记作： ΔS1，ΔS2，„，ΔSn.显然 S＝ .
②近似代替 如图①所示，当 n 很大，即 Δx
i－1 i 很小时，在区间 n ，n上，可以
无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精 确．
【变式 1】 用定积分的定义求由 y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0 围成 的图形的面积． 解 (1)分割：把区间[0,1]等分成 n
i－1 i 个小区间 n ，n
1 (i＝1,2，„，n)．其长度为 Δx＝n，把三角形分成一个小三角 形和(n－1)个小梯形，其面积分别记为 ΔSi(i＝1,2，„，n)． (2)近似代替： 用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积， i－1 取 ξi＝ n (i＝1,2，„，n)，