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高三一轮复习专题:数列通项公式与求和方法总结(新)

关键是找出各项与项数n 的关系.) 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,…(2) ,17164,1093,542,211(3) ,52,21,32,1(4) ,54,43,32,21-- 答案:(1)110-=nn a (2);122++=n n n a n (3);12+=n a n (4)1)1(1+⋅-=+n na n n .公式法1:特殊数列 例2: 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x ) = (x -1)2,且a 1 = f (d -1),a 3 = f (d +1),b 1 = f (q +1),b 3 = f (q -1),(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式;答案:a n =a 1+(n -1)d = 2(n -1); b n =b ·q n -1=4·(-2)n -1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列,且432a a a ⋅⋅=48,432a a a ++=12,则数列的通项公式是( )(A) 122-=n a n (B)42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D)例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10<<q ,设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ,求数列{}n b 的通项 公式.简析:由题意,321++++=n n n a a b ,又{}n a 是等比数列,公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321,故数列{}n b 是等比数列,易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b nn n .点评:当数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求首项及公差公比.公式法2: 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n .例5:已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式,求}{n a 的通项公式.(1)13-+=n n S n . (2)12-=n s n答案:(1)n a =3232+-n n ,(2)⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n 点评:先分n=1和2≥n 两种情况,然后验证能否统一.【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】简析:已知a a =1,)(1n f a a n n =-+,其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数,求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和各式相加得例5:已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项. .答案:)(52N n n a n ∈+=例6. 若在数列{}n a 中,31=a ,n n n a a 21+=+,求通项n a .答案:n a =12+n例7.已知数列}{n a 满足31=a ,)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 答案:na n 12-=(1)当f(n)为常数,即:q a a nn =+1(其中q 是不为0的常数),此时数列为等比数列,n a =11-⋅n q a . (2)当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8:在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式. 例9: 已知数列{}n a 中,311=a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a . . 答案:.)12(12(1-+=n n a n 思考题1:已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.分析:原式化为 ),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式,累积得解.构造1:【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】 (1)若c=1时,数列{n a }为等差数列; (2)若d=0时,数列{n a }为等比数列;(3)若01≠≠且d c 时,数列{n a }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下:设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c dλ,所以:)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项,以c 为公比的等比数列. 例10:已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ,且11=a 求通项n a . 答案:12-=nn a构造2:相邻项的差为特殊数列例11:在数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a .提示:变为)(31112n n n n a a a a --=-+++. 构造3:倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n +=--11】例12: 已知数列{n a }中11=a 且11+=+n n n a a a (N n ∈),,求数列的通项公式. 答案 nb a n n 11==例13:设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c 1=2,c 2=4,c 3=7,c 4=12,求通项公式c n解析:设1)1(-+-+=n n bqd n a c 建立方程组,解得.点评:用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式,一般地,若数列}{n a 为等差数列:则c bn a n +=,cn bn s n +=2(b 、c为常数),若数列}{n a 为等比数列,则1-=n n Aq a ,)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n .例14:(1)数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析:由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ① 2≥n 时, )2(2121-=+++-n a a a n ② 由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .(2)数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式(3)已知数列}{n a 中,,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 八、【讨论法-了解】(1)若d a a n n =++1(d 为常数),则数列{n a }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 其通项分为奇数项和偶数项来讨论. (2)形如)(1n f a a n n =⋅+型①若p a a n n =⋅+1(p 为常数),则数列{n a }为“等 积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数(非常数)时,可 通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ,两式相除后,分奇偶项来分求通项. 例15: 数列{n a }满足01=a ,21=++n n a a ,求数列{a n }的通项公式. 专题二:数列求和方法详解(六种方法)1、等差数列求和公式:d n n na a a n a a n a a n S n n n n 2)1(2)(2)(2)(123121-+==+=+=+=-- 2、等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例1] 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值. 答案n =8时,501)(max =n f方法简介:此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①(1≠x )解析:由题可知,{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积:设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①-②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1:求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 答案: 1224-+-=n n n S方法简介:这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +,然后再除以2得解.[例4] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 . 答案S =44.5方法简介:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组;[例5] 求数列的前n 项和:231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,… 答案 2)13(11n n a a a s n n -+--=-.试一试1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和 .简析:由于与n k k k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(91999991111111个个、分别求和. 方法简介:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项及分母有理化)如:(1))()1(n f n f a n -+= ; (2)11++=n n a n =n n -+1;(3)n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+;4)111)1(1+-=+=n n n n a n(5))121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n . [例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和.[例7] 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. 试一试1:已知数列{a n }:)3)(1(8++=n n a n ,求前n 项和. 试一试2:1003211321121111+++++++++++ ..方法简介:针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 答案 0 [例9] 数列{a n }:n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,求S 2002.(周期数列)[例10] 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。

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