一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：=n S =（2）等比数列的求和公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=n S例1.求和（1）1+2+3+…+n（2）232222n ++++二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。

例2.求和（1）()()()()n S nn -++-+-+-=2322212321 ； （2）13421n n a n -=-- ，求n S ； （3）123n n a -=+，求n S三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：（1）111)1(1+-=+n n n n (2) 1111()(2)22n n n n =-++ (3) )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n （4）n n n n -+=++111 例3. （1）已知数列{}()11+=n n a a n n 中，，求前n S n 项和.（2）已知数列{}2(21)(21)n n a a n n =-+中，，求前n S n 项和.（3）求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.四、错位相减法：如果一个数是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到，则使用这种方法。

例4. （1）2nn a n = ，求n S 。

n n n S 2)12(...252321232⨯-++⨯+⨯+⨯=、求和：（3）求数列()13231,,35,34,33,2-⨯+⨯⨯⨯n n 的前n S n 项和.五、课后练习1、（2012惠州一模）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =。

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，问n T >10012012的最小正整数n 是多少?2、（2012广州一模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT <≤．3、（2012惠州三模）已知函数()f x x =，且数列{})(n a f 是首项为2，公差为2的等差数列. (1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2) 设)(n n n a f a b ⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值..4、（2013惠州二模）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且*1()2nn b S n N -=∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1； （3）求数列{}n c 的前n 项和n T ．求通项公式一、定义法（1）等差数列：1n n a a d +-=； （2）等比数列：1n na q a +=。

例1：若11a =，求通项公式n a 。

（1）12n n a a +=+ （2）12n n a a += 练习：（1）12n n a a +=- （2）12n n a a += 二、累加法：()1n n a a f n +-= 例2：若11a =，求通项公式n a 。

（1）11n n a a n +=++ （2）12nn n a a +=+练习：（1）12n n a a n +=+ （2）13nn n a a n +=++三、累乘法：()1n na f n a += 例3：若11a =，求通项公式n a 。

（1）12nn n a a +=⋅ （2）1)1(++=n n a n na练习：（1）13nn n a a +=⋅ （2）1(2)n n na n a +=+四、固定结构 结构一：例4：（1）数列}{n a 满足2112313333n n n a a a a -+++++=*()n N ∈，求n a 。

（2）数列}{n a 满足2123n a a a a n ⋅⋅= ，则求n a 。

结构二：1n n a Ca D +=+ 解法分析：例5：若11a =，求通项公式n a 。

（1）121(2)n n a a n -=+≥ （2）134(2)n n a a n +=+≥练习：（1）122(2)n n a a n -=+≥ （2）132(2)n n a a n -=+≥结构三：1nn n Ca a Da E+=+解法分析：例6：若11a =，求通项公式n a 。

（1）11n n n a a a +=+ （2）123nn n a a a +=+（3）（2011年广东高考改） 数列{}n a 满足11a =,112(2)1n n n na a n a n --=+-≥，求通项公式n a 。

结构四：21n n n a Ca Da ++=+ 解法分析：例7：（1）已知数列}{n a 满足*12211,4,43().n n n a a a a a n N ++===-∈（1）求34,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式。

（2）（2008年广东高考改）设数列{}n a 满足121,2a a ==，()12123n n n a a a --=+ (3,4)n = 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；(2)记n n c na =(1,2,)n = ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。

数列练习题（近三年各地高考题选编）一、填空题1、在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = 。

2、等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为 。

3、在等差数列{}n a 中,已知48a a +=16,则210a a += 。

4、如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a = 。

5、{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________. 6、．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k= 7、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______。

8、{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a = 。

9、S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________．10、在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝ 。

11、已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ 12、已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += 。

13、已知ABC ∆的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.14、已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列的通项公式n a =_____.15、等比数列{n a }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =_______16、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比不为1。

若11a =,且对任意的*n N ∈都有2120n n n a a a +++-=,则5S =____。

18、已知{}n a 是等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______19、若等比数列{}n a 满足a n a n+1=16n，则公比为 。

20、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 。

二、解答题1、已知{}n a 为等差数列,且13248,12,a a a a +=+=(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,若12,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值.2、已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{a n }的前k 项和435S =-，求k 的值．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n s 。

（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .5、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .6、{a n }的前n 项和为S n ,且S n =22n n +,n∈N﹡,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n∈N﹡. (1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .7、已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且114444,27,=10a b a b S b =+=-. (I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(II)记1122=+++n n n T a b a b a b (*n N ∈)证明:*118(,2)n n n T a b n N n ---=∈>.8、（2012广东高考）设数列{}a 的前n 项和为S ,数列{}S 的前n 项和为T ,满足22T S n =-,n ∈*N .。