［ 收稿 日期 ］ ２ ０ —０３ ０ ７１—０
［ 金 项 目］ 上 海 市 重 点 学 科 （ ４ ７ 以 及 国 家 级 精 品 课 程 “ 基 Ｂ０） 高等 代 数 与解 析几 何 ” 设 项 目资 助 建
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大 学
数 学
第 ２ ６卷
２ 一１个 ， 足 这就 与 一是 一１时的归 纳假设 相矛盾 ． 于是 这样 的 ２ ＋１个非零 向量 口 ， … ， 是 口 ， 口 ＋ 不存在 ，
一
（ 口） ，口， ） ， 忌 口， 一是 （ 口 ＞Ｏ 矛盾． 志 故至 多只 能 有一 个 等 于 ０ 不 妨 设 。Ｊ ， ， 一 均 不 为 ０ 则 由 ． ，２ … ， ， （ ） ， ＋志 口， ） ｋ ｊ口， ） 屈， 一（ 尼） （ 口 － （ 口 是 五
是
．
— —
我们 首先来 给 出这道题 的解 答．
解
的最大 值是 ２ ．
设 ｍ 的最大值 是 ｔ 令 Ｐ ， ， 是 维 欧几 里 德空 间 的任 一规 范 正交 基 ， ． 。… 即该 组 基满 足 （ Ｐ） Ｐ，Ｊ
＝： ＝
， ， ，
ｉ ＝ １ … ， 则 取 中 ２ ， ＝ ， ， ＝ 个 非零 向量 ±Ｐ ， … ， 容 易 看 出这 一 向量 组 满足 题 目的要 ±Ｐ ， ±Ｐ．
影 ，＝ １ ２ … ，志 则存 在 ｋ ∈ ， 得 ａ ＝ｌ＋ 口，一１ ２ … ，志 由于 ＝ ，， ２ ， ： 使 Ｊ ，， ２．
Ｏ （ ａ ） （ ） 志 （ 口 一是 （ ） ≥ 口， 一 口， ＋ 口， ） 口， ，
故 走≤ ０ 某 些 屈 可 能 等 于 ０ 由 于 ≠ Ｏ 故 此 时 必 有 忌 ｄＯ 若 存 在 ｉ ｊ 使 一 ＝０ 则 （ ） ． ， ， ． Ｃ ， ， 口，
求， 于是得 ￡ ｎ ≥２ ．
下面 我们通 过对 维数 用数 学归 纳法来 证 明 ｔ ｎ 一２ ．
：１时． 若至 少 存 在 ３个 满 足 性 质 的 非 零 向量 ａ ， ａ ∈Ｖ， 因 ｄｍ 。ａ ， 。 则 ｉ Ｖ一 １ 故存 在 非 零 ｋ Ｚ ， ， ∈ ， 使得 口 一ｌ ， ３ ａ１ 由于 ２ ｅ 口 一／ ． ａｌ
［ 图分 类号 ］ ０１ １ ２ 中 ５．４ ［ 献标识码］Ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ １ ） ３０ ８ —４ 文 ６ ２１ ５ （０ ０ ０ —１ １０
在 ２ ０ 年 华东 师范 大学攻 读硕 士学 位研 究生 入学试 题《 等代 数 》 ０６ 高 中有这 样一 道填 空题 ： 如果 口 ， … ， ａ ， 口 是 维 欧几 里德 空 间中一组 非零 向量 ， 且满 足 （ 口 ） ０ Ｖ ≠ 则 的最大 值 口 ，ｊ≤ ， ，
一
于
（ ｌ ） ｋｋ （ 口） ０， Ｖｉ ｊ；ｉＪ １ … ， 五 １ ａ ， － ｊ ， ≤ Ｃ ，一 ， ２ 一 ，
所 以 ｐ ，２ … ，２ ｋ １维 欧 几 里 德 空 间 ｗ 中 满 足 性 质 的 非 零 向量 组 ． 是 由于 这 些 向量 共 有 ・Ｊ ， Ｊ 是 一 ， ｝一 但
［ 摘
要 ］ 确 定 了 在 维 欧 几 里 德 空 间 中两 向量 间夹 角 均 大 于 等 于 ９ ｏ度 的 非 零 向量 组 中 向量 的 最 大 个
数 ， 而 确定 了 向量 间夹 角 大 于 ９ 进 Ｏ度 时 的 最 大 个 数 ． 此 导 出 了 维 欧 几 里 德 空 间 中正 ＋ １ 体 的构 造 与 由 面 其体积公式． ［ 键 词］ 正 ＋１面 体 ； 积 ； 欧几 里 德 空 间 关 体 维
第２ ６卷 第 ３期
２１ ０ ０年 ６月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ６ Ｎ ． １２ ， Ｑ ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．００
高维 空 间 中一 类 正 多 面体 的构 造 与 其 体 积
林 磊
（ 东 师 范 大学 数 学 系 ， 海 ２ ０ ４ ） 华 上 ０ ２ １
中不存在 ２ ＋１个非 零 向量 ａ ，２ … ，２ ｌ使得 （ 口 ） ，Ｖｉ：． 设 口 ， ２ … ， ２ １ Ｖ 中满足 走 １口 ， ， ＋ 口 ， ，≤Ｏ ／ｊ 假 ＝ ｌ口 ， ａｔ 是 ＋ 性质 的非 零 向量 组 ， 令 一口 。ｗ 一（ ） 则 ｗ 是 的 ｋ 。 ， ＋ 上， 一１ 子空 间． 维 设 是 口 在 ｗ 中的正交 投
故ｎ ＝ｋ时结论 也成 立． 由数学归 纳法 知 ， 结论对 任何 都成 立． 该 如果 将上 述 问题 中不 同 的向量 间的 内积“ ” 条件 改 为“ ０ ， 况 会 更加 有 趣 ， ≤０ 的 ＜ ”情 而讨 论 将更 为
复杂．
命 题 １ 设 口 ， … ， 是 ｎ维 欧几里 德 空间 中的 向量 ， 足 （ 口 ） ， 任意 污 ， 口 ， 口 满 口 ， ，＜Ｏ 对 则 的 最 大值 等于 ＋１ ． 证 先证 在 中存 在满 足命 题 条件 的 １ １ 向量 ． 而得 的最 大值 大 于等 于 ＋ １ 我们 对 ＂ 个 ｌ ＋ 从 ．
ｋ 口１口１Байду номын сангаас一 （ ａ１ 口１ 一 （ ， ） Ｏ （ ， ） ｋ ， ） 口ｚ １ ≤ ，
而 （ 口 ） ， 口 ， １ ＞０ 因此 志 ． ＜０ 同理 得 Ｚ ． ＜０ 于是 ，口 ， 。 ＝ｋ （ 。口 ） Ｏ 这 与 条件 （ ２口 ） （ ：口 ） ｌａ ， ＞ ， 口 ， ３ ≤０相 矛盾 ． 故 ≤２ 从而 ｔ ２ 于是 ， ＝ 时 结论成 立． ， ＝ － ． ： １ ＝ 假设 ｎ 一１时结 论成 立 ， ＝ｋ 我们 要 证 ｎ ＝ｋ时结论 也成 立 （ ＞１ ． ） 由上 面 的讨 论可 知 ， 只要证 明在 Ｖ