下罪证。
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为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理
学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最
先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行
数 分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝
学 建
的痕迹。
模 课
这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。
培
训 衰变规律、溶液稀释规律等。
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2。模拟近似法。采用大量实验数据，提出各种假
设，在一定条件下模拟确定参数，再建立微分方程，
数 进行
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象
课 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂
件
· 的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，
的是变量之间的间接关系，因此，要得到直
件 ·
接关系，就得求微分方程。
竞
赛
培
训
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一、建模方法
建立微分方程模型很关键的一点就是要
数 掌握元素分析的方法，建模步骤如下：
学
建 1。理解表示导数的常用词：如经济学中的
模
课 “边际成本”、“边际收益”；生物学中的
件
· “增长速率”；化学反应中的“扩散速率”
常用数学模型
数
学
建 模
1 微分方程模型
课
件
· 竞
2 优化模型
赛
培
训
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数
常用数学模型
学
建
模 课
第5讲 微分方程模型
件
·
竞
赛
培
训
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在研究实际问题时，常常会联系到某些变
数 量的变化率或导数，这样所得到变量之间的
学 建
关系式就是微分方模型。微分方程模型反映
模 课
件 ·
属于铀系,2.地壳中几乎所有岩石中均含有微
竞 赛
量的铀,铀系中各种放射性元素在衰减而产生
培 训
新的元素,从而保持放射性平衡.3.铅矿中提炼
铅时,铅210和铅206被作为铅留下,其余物质
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90%-95%被留在矿渣中,从而打破了原有
的放射性平衡.
数
学 建 模
铀 238
T4。5108年2镭26
竞 赛
建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上
培 求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际
训 情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际
现象。
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二、几种微分方程模型
1。赝品的鉴定(Vanmeegren伪造名画
数
学 建
案 有)关知识:1.艺术家们用铅白作为颜料之一已
模 课
达2000多年.铅白中含有微量放射铅210.铅
建
模 方程为:
课 件 · 竞
dy y r dt
赛
为铅的分解率
培
训 镭分解为铅210,铅210分解为铅.
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其解为:
y (t )
r [1 e (t t0 ) ]
y e (t t0 ) 0
数 故:
学
建 模
y0 y(t)e(tt0 ) r[e(tt0 ) 1]
课 件
若画是真品, t t0 300,画中每克铅白中
T1600年2铅10
T22年2铅06
课
件 原理:著名物理学家卢瑟福:物质的放射性正
·
竞 比于物质的原子数.即N(t)表示t时刻的原子
赛
培 数,则(负号表示原子数减少)
训
dN N dt
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建模:
设t时刻1克铅白中铅210含量为y(t),而镭
数
学 的单位时间分解数为r(常数),则y(t)的微分
竞 赛
等等，表示变化速度的量。
培
训 2。建立瞬时表达式，根据 t有微小变化时，
的变化y ，得到 的表达d式y 。
dt
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3。根据已给的实际问题的边界条件，确
数 定有关常数。
学
建 模
此外，还常用下面两种方法建模：
课
件 ·
1。由已知的变化规律直接建模，如牛顿
竞
赛 第二定律、物体冷缺规律、放射性物质
·
竞 赛
含铅210目前的分子数为 y(t) ,镭目前的
培 训
分子数为r均可用仪器测出,从而可算出
y0 ,判断出铅210的分解数是否合理.
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范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
数
第二次世界大战后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的
学 合作者，发现一名三流画家H.A.VanMeegren曾将17世纪荷兰
平均吸引k个顾客.(3)若已知t=0时,电饭
数 学
煲销售数量为x0只.
建
模 课
建模:x(t)应满足微分方程:
件
· 竞
dx kx
赛
dt
培 训
x(0) x0
求解:
x(t) x0e k t
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结果分析:
调查情况表明,实际销售量在开始阶段
数 学
的增长情况与上式十分相符.问题是当t趋
建 模
于无穷大时,销售量达到无穷大与实际不
课 件
符.应该有上限限制.
·
竞
赛
培
训
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模型二:
假设: 需求量有一个上界N, 则尚未使用的人
数
学 数为(N-x),于是有
建
模 课
dx x(N x)
件
dt
·
x
竞 赛 培
即有: dx kx(N x)
dt
N N/2
训
解得: x
N
x0
建 模
著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945
课 年5月29日通敌罪逮捕了此人。
件
·
VanMeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有
竞
赛 的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造
培 训
Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，
又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留
件 1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。
·
竞
但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，
赛
培 Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都
训 不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大
学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。
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2。新产品的推销与广告
1 CeN k t
t
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结论:
当销出量<最大需求量的一半时，销售速
数 学
度不断增大，销出量达到一半时，该产品最
建 模
为畅销，其后销售速度将开始下降。实际调
课
件 查表明，销售曲线在销售后期，几乎完全吻
问题1: 新立品推销速度
数 学
第二次世界大战后日本家用电器业建
建 模
立的饭煲销售模型:
课 件
模型一:
·
竞 赛
假设(1)记t时刻已售出的电饭煲总数为连续
培 训
函数x(t);(2)由于使用方便,已在使用的电饭
煲实际上起宣传品的作用,吸引着尚未购
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买的顾客.设每一个电饭煲在单位时间内