初 中 数 学 几 个 数 学 模 型①圆锥母线长5cm ，底面半径长3cm ，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。

②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A ．45° Ｂ．60° C ．90° Ｄ．120°③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm ，母线长为４cm ，在一个边长为8cm 的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A 、2r=R B 、R r =49 C 、R r =3 D 、r 4模型2如图，∆ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系（ B ）.（A ）EF>BE+CF （B ）EF=BE+CF （C ）EF<BE+CF （D ）不能确定模型3①在△ABC 中，a=1,b=3,∠A=300，则∠B=___60___度。

②两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．（等腰直角三角形）③（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（1：3 ）④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。

若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________（1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积1S :2S 之比等于________ （2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积1A :2A 之比等于________⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图①摆放，点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点。

将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H 。

（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG =DH ；（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。

⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成,利用这副三角板构成一个含有150角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法.⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则∠ADB 的余切值为 .⑧如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，1=AC ，过点C 作AB CD ⊥1于1D ，A G D H M E F C BN第24题图图③ EF M N D A BGH 图④ C 45° 60°A E DBC F A GD H ME FC B (N )第24题图 图① 图②过1D 作BC D D ⊥21于2D ，过2D 作AB D D ⊥32于3D ，这样继续作下去，……，线段1+n n D D 能等于（n 为正整数）(A) n⎪⎭⎫ ⎝⎛23 (B) 123+⎪⎭⎫⎝⎛n (C)n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23 (D)123+⎪⎪⎭⎫⎝⎛n⑨已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题： （1）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动,两直角边分别与边OA ，OB 交于点C ，D.. ①在图甲中，证明：PC=PD ；②在图乙中，点G 是CD 与OP 的交点，且PG=23PD ，求△POD 与△PDG 的面积之比.（2）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，一直角边与边OB 交于点D ，OD=1，另一直角边与直线OA ，直线OB 分别交于点C ，E ，使以P ，D ，E 为顶点的三角形与△OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP 的长.⑩如图，客轮沿折线A －B －C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。

两船同时起航，并同时到达折线A －B －C 的某点E 处，已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍。

（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）。

A 、在线段AB 上 B 、在线段BC 上 C 、可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上 （2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?（结果保留根号）。

⒒将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，AB O M 图丙 A B CO PM D 图乙 图甲 D M P O CB A （第⑧题图）CA C B1D 2D4D6D5D 3D直角的另一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。

设A 、P 两点间的距离为x ， （1）当点Q 在CD 上时，线段PQ 、PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论。

（2）当点Q 在CD 上时，求四边形PBCQ 的面积y 与x 的函数解析式，并求出X 的取值范围； （3）当点P 在线段AC 上滑动时，三角形PCQ 是否能为等腰三角形？如果可能，指出所有可能使三角形PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的X 的值；如果不能说明理由（以下三个图的形状，大小相同，以供操与解题时备用） 解：（1）PQ=PB证明：连接BD 交AC 于点O ，连接PD ，如图（1） 四边形ABCD 是正方形∴ AC 垂直平分BD ，045=∠=∠OCD ODC ∴ PB=PD ，0904=∠+∠∴ 21∠=∠ 图 (1)PQPB PQ PD PQD PDQ OCD PQD ODC PDQ PD PB =∴=∴∠=∠∴+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=∠+∠∴⊥0004533452232319043 ……………………………..4分（2）连接BD 交AC 于点O ，作QE AC ⊥于点E （如图2）)21(121)2)(2(21)(212290,,20<≤+-=∴-+=+=+=∴-=-==∴∆≅∆∴=∠=∠∠=∠=∆∆x x y x x QE BO PC S S S xAP OA OP QE QEPPOB QEP POB QPE PBO PQ PB PCQ PBC PBCQ ………………………………………………4分 （3）可能当P 与A 重合时，Q 与D 重合，有PQ=QC ，X=0 当PC=CQ 时，且Q 在DC 的延长线上时，（图形3），连接BD 交AC 于点O ，连接BQ ，则CQ=PC=2222)2(1,2x CQ BC BQ x -+=+=-由（1）证得，PB=PQ ，ABCQC Q[]222)2(121)22(x BQ PB -+==∴由[]1)22()22()2(121222222=∴-+=-=∴+=x x x OP BO PB …………….3分12.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与边DC 或射线DC 相交于点Q 。

当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；② 当点Q 在边CD 运动上时，设四边形PBCQ 的面积为S 时，试用含有x 的代数式表示S ：③ 当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由。

①过点P 作PE AB ⊥ 交AB 于E, 过点P 作PF CD ⊥交BC 于F -----1分 PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE ∴BE=PF ------2分090EPB FPQ ∠+∠=090EPB EBP ∠+∠=∴EBP FPQ ∠=∠------3分∴ PEB PFQ ∆≅∆ ------4分 ∴PB=PQ --------5分 设PM=x,BM=1-x, QC=1-x-x=1-2x21122111(21)22PBC PCQS S SBC PM CQ PF x x x x ∆=+=⨯⨯+⨯=⨯⨯+-=-----------8分③有可能成为等腰三角形，求出x 值-------11分 13．（12分）用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图13—1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图13—2），BC DQ你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.（1）BE=CF. ……2分证明：在△ABE 和△ACF 中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF. ∵AB=AC ，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）. ……4分∴BE=CF. ……6分（2）BE=CF 仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE 和△ACF 全等，BE 和CF 是它们的对应边.所以BE=CF 仍然成立.………………………………10分 27．（8分）等腰△ABC ，AB=AC=８，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含 30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图1，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．问△BP E 与△CFP 是否相似； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．① 探究１：△BP E 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）② 探究２：连结EF ，△BP E 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．（1）如图，由题意得∠FPC+∠BPE=150, ∠BEP+∠BPE=150∴∠BEP=∠FPC 又∵∠B=∠C=30∴△BP E ～△CFP ………………… 2分（2）①△BP E 与△CFP 还相似 …………………………………… 3分 ②△BP E 与△PFE 相似， …………………………………… 4分由△BP E 与△CFP 相似，得 FP PE CP BE = ，又∵BP=CP ∴FPPEBP BE = , 即FPBPPE BE =，又∵∠B=∠EPF=30 ∴△BP E ～△PFE …………… 6分(1)(2)③如图，∵△BP E ～△PFE ，∴∠PEB=∠PEF 作PH ⊥BE 于点H,PG ⊥EG 于点G,则PH=PG ……… 7分在Rt △BPH 中, PBH BP PH ∠⋅=sin =32 ∴S=m 3 ……………… 8分模型4在上图中隐含有以下重要性质：⑴两对相等的锐角；∠A= ∠BCD ,∠B= ∠ACD⑵三对相似三角形:⊿ACD ∽⊿ CBD ∽⊿ABC, AC 2=AD ·AB BC 2=BD ·AB CD 2=BD ·AD ⑶边之比的推广⑷面积:AC ·BC=AB ·CD ⑸勾股定理⑹AB 是ΔABC 外接圆的直径 ①②③④⑤ ∽模型5①②③④⑤⑧增长率与百分数问题 iii 某商品降价20%后出售，一段时间后恢复原价，则应在售价的基础上提高的百分数是 （ ）A 、20% B 、25% C 、30% D 、35%某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为（ ） A 、8.5% B 、9% C 、9.5% D 、10% iii模型6①如图：一个残破的圆钢轮，为了再铸做一个同样大小的圆轮，请用圆规、直尺作出它的圆心（不用写作法，保留作图痕迹）。