()为Ψ(x) 的傅里叶变换。
W f (a, b)为小波系数。
求得小波系数的算式就是小波正变换。
Wf (a, b) f (x) a,b (x)dx
该式也可以理解为f(x)和Ψa,b(x)内积，小波系数表示二者 的相似程度，或f(x)中含有Ψa,b(x)成分的多少 。
小波系数有a和b两个自变量，分别代表不同的尺度（时间） 和频率，所以小波分析属于时频分析。
62, -34, 50, 0, 0, 14, -14, 0
-30, 22, 14,-14, 0, 0, 0, 0
14, 14, 0,-14, 0, 0, 0,10
-10,
0, -14, 10,
0,
0,
0,
0
0, 10, 0, 46, 0, 0, 0, 0
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8 64 32.5
1/8,
1/8 , 1/8,
1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8
2
0
1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0, 0, 0 3 0.5
0, 0 , 0, 1/2, -1/2 , 0,
8,
4, -2,
3,
2
-5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2
3, 0, -3, 2, 3, -2, 0, 4
2, -3,
6, -4,
3, 6,
3, 6
5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4
第一次扫描编码结果：
PNZT PTTT TZTT TTTT TPTT
10 1
3, 0, -3, 2, 3, -2, 0, 4
2, -3, 6, -4, 3, 6, 3, 6
5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4
8×8小波系数扫描次序
EZW编码的术语 P：正重要节点，本节点绝对值大于阈值，且为正数。 N：负重要节点，本节点绝对值大于阈值，且为负数。 Z：孤立零，本节点绝对值小于阈值，但其子节点中有重要节点。 T：零树根，本节点及其所有子节点绝对值都小于阈值。 扫描：按次序扫描各小波系数，判断其为何种节点。
4
4
4
4
[32.5( 64+2+3+61+60+6+7+57 ),0( 64+2+3+61-60-6-7-57 ), 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
100111 01111011011000
EZW解码：
PNZT PTTT TZTT TTTT TPTT
10 1
0
56, -40, 56, 0, 0, 0, 0, 0
0,
0,
0, 0,
0,
0,
0,
0
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0,
0,
0, 0,
0,
0,
0,
0
0, 0, 0, 40, 0, 0, 0, 0
Haar小波变换第二种做法：
[64, 2, 3, 61, 60, 6, 7, 57]
[33( 64+2 ),32( 3+61), 33( 60+6 ),32( 7+57 ),31( 64-2 ),-29( 3-61 ),27( 60-6 ),-25( 7-57 )]
2
2
2
2
2
2
2
2
[32.5( 64+2+3+61),32.5( 60+6+7+57 ), 0.5( 64+2-3-61),0.5( 60+6-7-57 ),31,-29,27,-25]
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0
解码误差分析：
63, -34, 49, 10,
-31, 23, 14, -13,
15, 14, 3, -12,
-9,
-7, -14,
8,
-5, 9, -1, 47, 3, 0, -3, 2,
2, -3,
6, -4,
5, 11, 5, 6,
7, 13, -12, 7
3, 4, 6, -1
5, -7, 3, 9
4, -2,
3,
2
4, 6, -2, 2
3, -2, 0, 4
3, 6, 3, 6
0, 3, -4, 4
138
124
60
小波反变换：
54 58
42
123
81
100 5 -27 57 67 15 -19
EZW编码举例：
第一次扫描: 初始阈值设为32。
得到重要节点，对 零树根的子节点不 做扫描。
对重要节点编码。
63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7
-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1
15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9
-9,
-7, -14,
第三遍扫描:
阈值设为8。
第三遍扫描对之前 扫描的重要节点不 扫描。
对所有的重要节点 编码。
63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7
-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1
15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9
-9,
-7, -14,
8,
4, -2,
0
第二次扫描:
阈值设为16。
第二遍扫描对第一 遍的重要节点不扫 描。
对第一第二遍扫描 的重要节点编码。
63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7
-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1
15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9
-9,
-7, -14,
（1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0, 0, 0）
（ 0, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0）
（ 0, 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0 , 0）
连续Haar小波
（ 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 1/2, -1/2）
对应的离散Haar小波
离散小波变换就是做向量的内积。 例：对（64， 2， 3， 61， 60， 6， 7， 57）做Haar小波变换：
第2节 离散小波变换（HAAR小波）
（1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8 ）
（1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8）
（1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0, 0, 0）
（ 0, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4）
8,
4, -2,
3,
2
-5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2
3, 0, -3, 2, 3, -2, 0, 4
2, -3, 6, -4, 3, 6, 3, 6
5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4
第二次扫描编码结果： NP TTT TTTT TTTT TTTT
1001 10
将图像的小波系数用树结构表示。
例：
63, -34, 49, 10, 7, 13, -12, 7
-31, 23, 14, -13, 3, 4, 6, -1
15, 14, 3, -12, 5, -7, 3, 9
-9,
-7, -14,
8,
4, -2,
3,
2
-5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0,
0,
0, 0,
0,
0,
0,
0
0, 0, 0, 44, 0, 0, 0, 0
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0,
0,
0, 0,
0,
0,
0,
0
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
PPN PPNT TNNP TPTT NTTT TTTT TPTT TPTT TTT TTTP TTTT TTTT TTTT 100111 01111011011000
3,
2
-5, 9, -1, 47, 4, 6, -2, 2
3, 0, -3, 2, 3, -2, 0, 4
2, -3,
6, -4,
3, 6,
3, 6
5, 11, 5, 6, 0, 3, -4, 4
第三次扫描编码结果： PPN PPNT TNNP TPTT NTTT TTTT TPTT TPTT TTT TTTP TTTT TTTT TTTT
第3节 图像小波变换
图像是二维数据，所以要分别对行和列做小波变换。 行列的顺序不影响变换结果。 JPEG2000标准中建议的不是Haar小波，而是5/3小波或9/7小波。 对图像的小波变换可能有损也可能无损。 图像小波变换除了应用在图像压缩上，还广泛用于图像分析。
第4节 EZW编码（1992）
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0