ˆ “权”表示测量结果可靠性，“权”与标准误差 反比 ˆ1 , ˆ2 , 有n次测量，每次测量标准误差分别为 应的“权”分别为：
P 1
成
ˆ n 则相 ,
, P , , P , , P i n 2 2 12 2 2 i2 n
非等精度测量中被测量的最佳估计为 L ；测量值的加权算 术平均值，相应的加权算术平均值均方根误差 S L
第五节. 随机误差的计算
一、直接测量误差的计算
步骤

① 剔除过失（粗大）误差； ② 修正系统误差； ③ 分析和计算随机误差。
分析和计算n个测量值的随机误差 l1 , l2 ,
, ln
（1）计算平均值L （2）计算 li 的偏差
L (l1 l2
ln ) / n
vi li L
第五节. 随机误差的计算
概率为68.27%
概率为95.45% 概率为99.73% 不同σ 值的随机误差正态分布
第三节. 随机误差
测量结果的最佳值—算术平均值
一系列观测值l1,l2, …ln和最佳值L 观测值li和最佳值L的偏差v1,v2, … ,vn
2 1 2 y e 1 vi的概率密度 2 vi 2
1 进行n次观测 P e 2
则有 y 的标准误差 极限误差
y 2 2 y 2 2 y 2 2 ( ) x ( ) z ( ) w x z w
2 y
(lim ) y 3 y
第五节. 随机误差的计算
四、多参数多次测量时，间接测量的误差计算
间接测量最佳值 Ly f ( Lx , Lz , Lw , 间接测量最佳值标准误差 S y ( 间接测量最佳值极限误差
i 1
n
(| 1 | | 2 |
| n |) | i |
i 1
n
第二节. 系统误差
测量误差的综合
估计n个误差分量对测量系统的影响
（3）几何综合法 — 避免误差估计过大
绝对误差

2 1 2 2

2 i

i 1 n
n
2 i
相对误差

2 1 2 2

2 i
2 i i 1
误差分析例 — 压力表测量管道压力
第三节. 随机误差
测量误差特点：① 单个误差无规律 ② 多个误差，呈一定统计规律 → 正态分布
随机误差四个特性：
（1 （2）单峰性 （3 （4）有限性
随机误差分布规律：
2 1 y e 2 2 2
2 v i i 1 n
, xn
② 剔除可疑数据 x ，计算平均值和标准误差
1 x xi n 1 i 1
i j
n

n2
③ 选择显著度 , 根据测量次数 n , 查表取值
K (n, )
④ 若 x j x K 则认为测量值
x j 为粗大误差，予以剔除
第四节. 可疑测量数据的剔除
最佳估计条件：

1 2
2
2 2 2 ( v1 v2 vn )
2 min(v12 v2
2 vn )
min{(l1 L)2 (l2 L) 2 ,
, (ln L) 2 }
第三节. 随机误差
有限测量次数中误差的计算 各种误差的表示法
（1）有限测量次数时的标准误差
L
PL
i 1 n i
n
i
SL
1
2 (1 ) i i 1 n
P
i 1 i
第五节. 随机误差的计算
三、间接测量的误差计算
被测量
y f ( x1 , x2 ,
, xn )
只进行一次测量时的误差计算
max e
A Am
上式中， max 实测值可能出现的最大相对误差；
方法：测量方法存在错误或不足 如：采样频率低、测量基准错误
(2) 装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程 电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声 (3) 环境误差： 测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动， (4) 使用误差： 读数误差、违规操作、
③ 判别 Tli 是否大于 T( n, ) , 若 Tli T( n, ) 则 li 为粗大误差，应予以剔除。
第四节. 可疑测量数据的剔除
可疑数据（过失误差、疏忽或粗大误差）
三、t 检验准则—适用条件: 重复测量次数 n 较小 特点：先剔除后检验 ① 对被测量做 n 次测量，得
j
x1 , x2 ,

绝对误差 测量值 真值
绝对误差 绝对误差 相对误差 真值 测量值
第一节. 误差的来源与分类
误差的来源与误差概念 (1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差 近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关
第三章 测量误差分析及处理
1. 误差的来源与分类； 2. 系统误差； 3. 随机误差； 4. 可疑测量数据的剔除； 5. 随机误差的计算； 6. 传递误差。
动力装置电控技术研究所
第一节. 误差的来源与分类
误差的来源与误差概念 定义： 测量结果与其真值的差异 定性概念，定量表示 真值： 被测量的客观真实值 理论真值： 理论上存在、计算推导出来 约定真值：国际上公认的最高基准值 如：基准米 1m=1 650 763.73 λ (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长) 相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值 Δx – 测量误差 x x x0 x – 测量结果 x0 – 真值 如：三角形内角和180°

2 i
n
第三节. 随机误差
标准误差和概率积分
2 1 p i i e 2 d i 2 i 2 2 2 2
p

1 e 2


d 1
| | | | 2 | | 3
一、直接测量误差的计算
ˆ ˆ 和极限误差 lim 3 （3）计算方差
（4）计算平均值方差 S 和极限误差 lim
ˆ S
n
lim 3S
lim
（5）计算平均值的相对极限误差
（6）得出被测量的值为
L lim
或 L lim
第五节. 随机误差的计算
二、权的概念—非等精度测量
可疑数据（过失误差、疏忽或粗大误差）
三、狄克逊准则 — 特点：不必求 ，计算复杂度小 ① 对被测量做 n 次测量由小到大排序，得 其中，最大值 最大值
x1 , x2 ,
, xn
xn 最小值 x1
xn xn 1 r11 xn x2
xn 的统计量：
xn xn 1 r10 xn x1
ˆ
（3）算术平均值的极限误差
lim
ˆ
vi2
i 1
n
lim 3S 3
n 1
n(n 1)
2 v i
（2）算数平均值的标准误差
S ˆ n
2 v i
S
（4）相对极限误差
lim
n(n 1)
lim
lim
L
100%
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第四节. 可疑测量数据的剔除
③ 粗大误差（Abnormal error） 检测系统各组成环节发生异常和故障等引起
异常误差 →测量结果失去意义 多方注意、细心操作，过失误差可以避免
第二节. 系统误差
系统误差分类：
（1）仪器误差 （2）安装误差 （3）环境误差 （4）方法误差 （5）操作误差 （6）动态误差
系统误差特征：
（1）恒值系统误差 （2）变值系统误差
xn xn 2 r21 xn x2
xn xn 2 r22 xn x3
第四节. 可疑测量数据的剔除
② 选择显著度 , 根据测量次数 n , 查表取值 r0 (n, ) 当测量统计值 rij 大于临界值 r0 (n, ) ，则认为 xn 含有粗大误差 ③ 最小值
可疑数据（过失误差、疏忽或粗大误差）
一、莱依特准则—适用条件: 重复测量次数 n>10
ˆ | vi || li L | 3
二、格拉布斯准则—适用条件:重复测量次数 n 较小
① 计算格拉布斯准则
| vi | | li L | Tli ˆ ˆ
② 选择显著度（危险率） , 根据测量次数 n ,查表取值 T( n, )
x0
Ⅰ
y0
y0 1 ( x0 ) 1 xi 2 ( y0 )
第五节. 随机误差的计算
四、多参数多次测量时，间接测量的误差计算
函数
y f ( x, z, w, )
对直接观测值
x, z , w,
做了n次测量，得到：
y1 f ( x1 , z1 , w1 , ) y2 f ( x2 , z2 , w2 , ) yn f ( xn , zn , wn , )
AAA
① 线性系统误差 ② 非线性系统误差
消除系统误差的方法：
（1）消除产生系统误差的根源 （2）用修正方法消除系统误差 （3）常用消除系统误差的具体方法 ① 交换抵消法 ② 替代消除法 ③ 预检法
第二节. 系统误差
测量误差的综合
估计n个误差分量对测量系统的影响
（1）代数综合法 — 已知误差分量 △i 的大小和方向
x1 x2 r10 x1 xn