• 原假设为：H0：u同方差，即σ21=…=σ2n • 备择假设为： H1：u是递增异(或递减)方差，即 σ2i随
xi递增(或递减) (i=1,2,…,n)
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G-Q检验的步骤：
1.将n对样本观察值(xi , yi)按观察值xi的大小排队。 2.将序列中间的c个观察值除去，并将剩下的观察值
GLSE的协方差矩阵为：
Cov(βˆ )
(
X%X%)1
2 u
(
X
1
X
)1
2 u
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第二节 异 方 差
一、异方差及其产生的原因
当不能满足同方差的假设，即u的条件方差在不同 次的观测中不再是一个常数，而是取得不同的数值，即
若因假定2和假定3不满足时，有
Cov(u) E(uu) u2
其中Ω≠I， Ω是一个n×n的正定对称方阵。
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此时可以觅得一个n×n的非奇异矩阵P，使得： PΩ P′=I 即 P′ P = Ω-1
然后用觅得的P乘以(4.7)的两边，有：
（三）White检验
White检验的基本思想：如果存在异方差，其方 差与解释变量有关，可以分析方差是否与解释 变量有某些形式的联系以判断异方差性。但是 方差一般是未知的，可用OLS 法估计的残差平 方作为其估计量。在大样本的情况下，做对常 数项，解释变量，解释变量的平方及其交叉乘 积等所构成的辅助回归，利用辅助回归相应的 检验统计量，即可判断是否存在异方差性。
划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子 样样本容量均为(n-c)/2。 注意：对于n≥30时，c=n/4最合适。 3.对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残 差平方和。分别用RSS1与RSS2表示较小与较大的 残差平方和，它们的自由度均为(n-c)/2–k–1，k为 模型中自变量个数。
4.选择统计量
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注意： ☆异方差问题多在于截面数据中而非时间序列数据中。 ☆本教材只讨论横截面数据的异方差问题。
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二、异方差产生的后果
• 最小二乘估计量仍然是线性无偏的，但不再具有最小 方差性。
yi：第i个家庭的储蓄额 xi：第i个家庭的收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 ui的方差呈现单调递增型变化
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y
E( y | xi ) 0 1xi
x
图 4.2 收入-储蓄模型中的异方差
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例: 以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Q = A KαL eu
其中，Q为产出量，K为资本，L为劳动力，u为随机项。
u在该问题中表示了包括不同企业在设计上、生产工艺 上的区别，技术熟练程度和管理上的差别以及其它因素。 这些因素在小企业之间差别不大，而在大企业之间，这 些因素都相差甚远，即随机项的方差随着解释变量的增 大而增大。
检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解 释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。
(一)图示法
随机项u的异方差与解释变量的变化有关。因 此，可利用因变量y与解释变量x的散点图或残差e2i 与x的散点图，对随机项u的异方差作近似的直观判 断。
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关于随机项正态性分布的假定，如果我们的目的仅仅 是估计，这种假定并不是绝对必要的。事实上，无论是否 是正态分布，OLSE估计式都是BLUE。
剩下的四个假定将在下面的四节中分别加以讨论。
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三、广义最小二乘法（GLS）
假定5：u服从正态分布
ui ~ N(0, u2 )
i=1,2, …, n
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有了以上这些假定，根据高斯－马尔可夫
（Gauss-Markov）定理，我们知道古典回归模型的 最小二乘估计量（OLSE）是线性最优无偏估计量 (BLUE)，而且服从正态分布。因此，就可以进行参 数的区间估计，而且也可以检验真实总体回归系数的 显著性。
1890.58
664
20
11575.48
2098.25
871
21
12500.84
2499.58
1033
y 1589 2209 2878 3722 5350 8080 11758 15839 18196 20954
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关于假定1，一般地我们认为假定E(ui|xi)=0 是合理的。 因为随机项u是多种因素的综合，而每种因素的影响都 “均匀”地微小，它对因变量的影响不是系统的，且正负 影响相互抵消，故所有可能取值平均起来为零。即使有轻 度的违反，从实践的观点来看可能不会产生严重的后果， 因为它可能只影响回归方程的截距项 。
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异方差产生的原因
1、模型中省略的解释变量
如果将某些未在模型中出现的重要影响因素归入随机误差 项，而且这些影响因素的变化具有差异性，则会对被解释 变量产生不同的影响，从而导致误差项的方差随之变化， 即产生异方差性。
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如果检验递增方差：
如果检验递增方差：
RSS2 F
(n
2
c
k
1)
RSS2
RSS1
(n c k 1) 2
RSS1
RSS1 F
(n
c 2
k
1)
RSS1
RSS2
(n c k 1) 2
RSS2
5.进行检验 可以证明，在原假设下，F
给定线性回归模型
Y = Xβ + u
(4.7)
若古典假定完全满足，根据Gauss-Markov定理，其 系数的最小二乘估计量
B ＝(X′X) –1 X′Y
(4.8)
具有 BLUE性质。
若古典假定得不到完全满足，特别是假定2（同方 差性）和假定3（无序列相关性）得不到满足时， 对OLSE的影响更大。
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（二）Goldfeld-Quandt检验
• 该方法该检验方法是Goldfeld和Quandt于1965年提出 的，用于检验是否存在递增或递减异方差，要求观测 值为大样本。基本思想是将样本分为两部分，然后分 别对两个样本进行回归，并计算比较两个回归的剩余 平方和是否有明显差异，以此判断是否存在异方差。
x
y
家庭编号
x
590.2
107
12
2827.73
664.94
123
13
3084.17
809.5
159
14
3462.71
875.54
189
15
3932.52
991.25
233
16
5150.79
1109.95
312
17
7153.35
1357.87
401
18
9076.85
1682.8
522
19
10448.21
2、测量误差
一方面，解释变量取值越大测量误差会趋于增大；另一方 面，测量误差可能随时间而变化。
3、截面数据中总体各单位的差异 如前面家庭储蓄行为中高低收入家庭的差异。
4. 模型函数形式设定错误
如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，也可能导致 异方差。
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例4.1 根据随机抽取的21个农村家庭年底储蓄余额与年内家庭 纯货币收入的资料，按收入排序后的数据见下表。其中， x为 年内家庭纯货币收入（元）， y为年底家庭储蓄余额（元）。
家庭编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
表4.1 家庭储蓄余额与纯货币收入数据表
所以，(4.14) 满足同方差性和无序列相关性，即可以采 用OLS估计参数了。其参数的OLSE为：
βˆ (X%X%)1 X%Y% [(PX )(PX )]1(PX )PY [ X PPX ]1 X PPY [ X 1X ]1 X 1Y (4.16)
上式中的 βˆ 称为广义最小二乘估计量（GLSE），可以 证明，它具有线性、无偏性和最小方差性，即它是最优 线性无偏估计量（BLUE）
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广义最小二乘法（General Least Squares－GLS）就是 为了解决上述问题提出的。其基本思路是：若假定2同 方差性）和假定3（无序列相关性）得不到满足时，我 们可以采取适当的变换，使原模型变为以下的形式：